यदि ${}^{2n+1}P_{n-1} : {}^{2n-1}P_n = 11 : 21$ है,तो $n^2 + n + 15$ का मान ज्ञात कीजिए:

$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ अंकों का उपयोग करके बनाई जा सकने वाली चार अंकों की संख्याएँ जो $4$ से विभाज्य हैं,जब किसी भी अंक की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है,उनकी संख्या क्या है?

यदि शब्द $NAGPUR$ के सभी अक्षरों का उपयोग करके बनाए गए अर्थपूर्ण या अर्थहीन शब्दों को शब्दकोश के क्रम में व्यवस्थित किया जाता है,तो इस व्यवस्था में $315^{\text{th}}$ स्थान पर आने वाला शब्द कौन सा है?

मान लीजिए $b_{1} b_{2} b_{3} b_{4}$ एक $4$-तत्व का क्रमचय है जहाँ $b_{i} \in \{1, 2, 3, \ldots, 100\}$ है,$1 \leq i \leq 4$ के लिए और $i \neq j$ के लिए $b_{i} \neq b_{j}$ है,ताकि या तो $b_{1}, b_{2}, b_{3}$ क्रमागत पूर्णांक हों या $b_{2}, b_{3}, b_{4}$ क्रमागत पूर्णांक हों। ऐसे क्रमचयों की संख्या ज्ञात कीजिए।

$n$ का मान ज्ञात कीजिए ताकि $^{n}P_{5} = 42 \, ^{n}P_{3}$ हो,जहाँ $n > 4$ है।

$1, 2, 3, 2, 3, 3, 4$ अंकों का उपयोग करके बनाई जा सकने वाली $7$ अंकीय संख्याओं की संख्या क्या है?