જો x=x(t) એ વિકલ સમીકરણ (t+1) dx = (2x + (t+1 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(t+1) dx = (2x + (t+1)^4) dt$. તેને પ્રમાણિત સુરેખ સ્વરૂપ $\frac{dx}{dt} + P(t)x = Q(t)$ માં ગોઠવતા: $\frac{dx}{dt} = \frac{2x

Vedclass · Accepted Answer

$14$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(t+1) dx = (2x + (t+1)^4) dt$. તેને પ્રમાણિત સુરેખ સ્વરૂપ $\frac{dx}{dt} + P(t)x = Q(t)$ માં ગોઠવતા: $\frac{dx}{dt} = \frac{2x + (t+1)^4}{t+1} = \frac{2x}{t+1} + (t+1)^3$. $\frac{dx}{dt} - \frac{2}{t+1}x = (t+1)^3$. સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) $I.F. = e^{\int -\frac{2}{t+1} dt} = e^{-2 \ln(t+1)} = (t+1)^{-2} = \frac{1}{(t+1)^2}$. બંને બાજુ $I.F.$ વડે ગુણતા: $\frac{d}{dt} \left( \frac{x}{(t+1)^2} \right) = (t+1)^3 \cdot \frac{1}{(t+1)^2} = (t+1)$. $t$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\frac{x}{(t+1)^2} = \int (t+1) dt = \frac{(t+1)^2}{2} + C$. પ્રારંભિક શરત $x(0) = 2$ નો ઉપયોગ કરતા: $\frac{2}{(0+1)^2} = \frac{(0+1)^2}{2} + C \Rightarrow 2 = \frac{1}{2} + C \Rightarrow C = \frac{3}{2}$. તેથી,ઉકેલ $x = \frac{(t+1)^4}{2} + \frac{3}{2}(t+1)^2$ મળે છે. $t=1$ માટે: $x(1) = \frac{(1+1)^4}{2} + \frac{3}{2}(1+1)^2 = \frac{16}{2} + \frac{3}{2}(4) = 8 + 6 = 14$.

જો $x=x(t)$ એ વિકલ સમીકરણ $(t+1) dx = (2x + (t+1)^4) dt$ નો ઉકેલ હોય અને પ્રારંભિક શરત $x(0) = 2$ હોય,તો $x(1)$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{xy(x^2 \sin y^2 + 1)}$ નો ઉકેલ શોધો,જ્યાં $C$ એ સંકલન અચળાંક છે.

ધારો કે $y = y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(x^2 - x\sqrt{x^2-1})dy + (y(x - \sqrt{x^2-1}) - x)dx = 0, x \geq 1$ નો ઉકેલ છે. જો $y(1) = 1$ હોય, તો $y(\sqrt{5})$ થી નાનો મહત્તમ પૂર્ણાંક . . . . . . છે.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}(x \log x) + y = 4 \log x$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

ધારો કે $\alpha x = \exp(x^\beta y^\gamma)$ એ વિકલ સમીકરણ $2x^2 y \frac{dy}{dx} - (1 - xy^2) = 0$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $x > 0$ અને $y(2) = \sqrt{\log_e 2}$ છે. તો $\alpha + \beta - \gamma$ ની કિંમત શોધો:

જો $y=f(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} = x^2 + 3y$, $x > 0$, $y(2) = 4$ નો ઉકેલ હોય, તો $f(4) = $ ?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module