यदि {z_1} और {z_2} दो सम्मिश्र संख्याएँ इस प् | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $\left| \frac{{z_1} - {z_2}}{{z_1} + {z_2}} \right| = 1$,मान लीजिए $\frac{{z_1} - {z_2}}{{z_1} + {z_2}} = e^{i\alpha} = \cos \alpha +

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$-2{	an ^{ - 1}}k$

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(C) दिया गया है $\left| \frac{{z_1} - {z_2}}{{z_1} + {z_2}} ight| = 1$,मान लीजिए $\frac{{z_1} - {z_2}}{{z_1} + {z_2}} = e^{i\alpha} = \cos \alpha + i\sin \alpha$,जहाँ $\alpha$,${z_1} - {z_2}$ और ${z_1} + {z_2}$ के बीच का कोण है।योगान्तरानुपात (Componendo and dividendo) का उपयोग करने पर:$\frac{2{z_1}}{-2{z_2}} = \frac{\cos \alpha + i\sin \alpha + 1}{\cos \alpha + i\sin \alpha - 1} = -i\cot(\alpha/2)$अतः,$\frac{{z_1}}{{z_2}} = i\cot(\alpha/2)$,जिसका अर्थ है $i{z_1} = -\cot(\alpha/2) {z_2}$.दिए गए $i{z_1} = k{z_2}$ से तुलना करने पर,$k = -\cot(\alpha/2)$,अर्थात $\cot(\alpha/2) = -k$.$	an \alpha = \frac{2	an(\alpha/2)}{1 - 	an^2(\alpha/2)} = \frac{2(-1/k)}{1 - 1/k^2} = \frac{2k}{1 - k^2}$.अतः,$\alpha = 	an^{-1}\left(\frac{2k}{1 - k^2}ight) = -2	an^{-1}k$.

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