यदि {z_1} और {z_2} दो शून्येतर सम्मिश्र संख्य | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $|{z_1} + {z_2}| = |{z_1}| + |{z_2}|$. यह शर्त दर्शाती है कि सम्मिश्र संख्याएँ ${z_1}$ और ${z_2}$ सम्मिश्र तल में मूल बिंदु से निकल

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(D) दिया गया है कि $|{z_1} + {z_2}| = |{z_1}| + |{z_2}|$. यह शर्त दर्शाती है कि सम्मिश्र संख्याएँ ${z_1}$ और ${z_2}$ सम्मिश्र तल में मूल बिंदु से निकलने वाली एक ही किरण पर स्थित हैं। माना ${z_1} = {r_1}(\cos{	heta_1} + i\sin{	heta_1})$ और ${z_2} = {r_2}(\cos{	heta_2} + i\sin{	heta_2})$। तब $|{z_1} + {z_2}|^2 = (|{z_1}| + |{z_2}|)^2 = |{z_1}|^2 + |{z_2}|^2 + 2|{z_1}||{z_2}|$। साथ ही,$|{z_1} + {z_2}|^2 = (z_1 + z_2)(\overline{z_1} + \overline{z_2}) = |z_1|^2 + |z_2|^2 + z_1\overline{z_2} + \overline{z_1}z_2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2	ext{Re}(z_1\overline{z_2})$। इनकी तुलना करने पर,$2	ext{Re}(z_1\overline{z_2}) = 2|z_1||z_2|$,जिसका अर्थ है कि $\cos(	heta_1 - 	heta_2) = 1$। अतः,$	heta_1 - 	heta_2 = 0$,जो दर्शाता है कि $	ext{arg}({z_1}) - 	ext{arg}({z_2}) = 0$।

यदि ${z_1}$ और ${z_2}$ दो शून्येतर सम्मिश्र संख्याएँ इस प्रकार हैं कि $|{z_1} + {z_2}| = |{z_1}| + |{z_2}|,$ तो $\text{arg}({z_1}) - \text{arg}({z_2})$ का मान क्या होगा?

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$\operatorname{Arg}\left(\sin \frac{6 \pi}{5}+i\left(1+\cos \frac{6 \pi}{5}\right)\right)=$

चर बिंदु $z=x+iy$ का बिंदुपथ जिसका आयाम (amplitude) हमेशा $\theta$ के बराबर है,वह है

यदि सम्मिश्र संख्याएँ $z_1$ और $z_2$ इस प्रकार हैं कि $|z_1| = \sqrt{2}$,$|z_2| = \sqrt{3}$ और $|z_1 + z_2| = \sqrt{5 - 2\sqrt{3}}$ है,तो $|Arg(z_1) - Arg(z_2)|$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $z_1 = -\sqrt{3} + i$ और $z_2 = -\sqrt{3} - i$ है,तो सम्मिश्र संख्या $\frac{z_1}{z_2}$ का मुख्य कोणांक (principal amplitude) ज्ञात कीजिए।

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