જો $(3 + i)z = (3 - i)\bar{z}$ હોય,તો સંકર સંખ્યા $z$ શું છે?

$\frac{{{{( - 1 + i\sqrt 3 )}^{15}}}}{{{{(1 - i)}^{20}}}} + \frac{{{{( - 1 - i\sqrt 3 )}^{15}}}}{{{{(1 + i)}^{20}}}} = \dots$

ધારો કે $Z$ અને $W$ એવી સંકર સંખ્યાઓ છે કે જેથી $|Z| = |W|$,અને $\text{arg } Z$ એ $Z$ નો મુખ્ય કોણાંક દર્શાવે છે.
વિધાન $1$: જો $\text{arg } Z + \text{arg } W = \pi$ હોય,તો $Z = -\overline{W}$.
વિધાન $2$: $|Z| = |W|$ નો અર્થ છે કે $\text{arg } Z - \text{arg } \overline{W} = \pi$.

કોઈપણ બે સંકર સંખ્યાઓ $z_1$ અને $z_2$ માટે નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

$\left(\frac{1+\sin \frac{2 \pi}{9}+i \cos \frac{2 \pi}{9}}{1+\sin \frac{2 \pi}{9}-i \cos \frac{2 \pi}{9}}\right)^3$ ની કિંમત શોધો.

$\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે અને જો $Z$ એ એવી સંકર સંખ્યા હોય જે $|Z-1| \leq 2$ અને $|\omega^2 Z-1-\omega|=a$ નું સમાધાન કરે છે,તો $a$ ની શક્ય કિંમતોનો ગણ શું છે?