यदि $\log_{\sqrt{3}} \left( \frac{|z|^2 - |z| + 1}{2 + |z|} \right) < 2$ है,तो $z$ का बिंदुपथ क्या है?

एक कण $P$,बिंदु $Z_0 = 1 + 2i$ से शुरू होता है जहाँ $i = \sqrt{-1}$ है। यह पहले मूल बिंदु से दूर क्षैतिज रूप से $5$ इकाई और फिर धनात्मक $y$-अक्ष के समानांतर ऊर्ध्वाधर रूप से $3$ इकाई ऊपर चलकर बिंदु $Z_1$ पर पहुँचता है। $Z_1$ से,कण $\hat{i} + \hat{j}$ सदिश की दिशा में $\sqrt{2}$ इकाई चलता है और फिर मूल बिंदु पर केंद्र वाले वृत्त पर वामावर्त दिशा में $\frac{\pi}{2}$ कोण से घूमकर बिंदु $Z_2$ पर पहुँचता है। तब $Z_2 =$

यदि $A = \{z : |\frac{z - 2}{z + 2}| = 3, z \in C\}$ और $z_1, z_2, z_3, z_4 \in A$ सम्मिश्र तल पर बिंदुओं $P, Q, R, S$ को दर्शाने वाली $4$ सम्मिश्र संख्याएँ हैं,इस प्रकार कि $z_1 - z_2 = z_4 - z_3$,तो चतुर्भुज $PQRS$ के क्षेत्रफल का अधिकतम मान क्या है?

मान लीजिए कि $C$ सभी सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय है। मान लीजिए $S_{1} = \{z \in C : |z-3-2i|^{2}=8\}$,$S_{2} = \{z \in C : \operatorname{Re}(z) \geq 5\}$,और $S_{3} = \{z \in C : |z-\bar{z}| \geq 8\}$ है। तो $S_{1} \cap S_{2} \cap S_{3}$ में अवयवों की संख्या किसके बराबर है?

सम्मिश्र संख्या $z$ को निरूपित करने वाले बिंदु का बिंदुपथ,जिसके लिए $|z+3|^2-|z-3|^2=15$ है,वह है

बिंदु $P$ और $Q$ आर्गंड समतल में सम्मिश्र संख्याओं $Z_1$ और $Z_2$ को दर्शाते हैं। $O$ मूल बिंदु है। यदि $Z_1 \bar{Z}_2 + \bar{Z}_1 Z_2 = 0$ और $\angle POQ = \theta$ है,तो $\sin \theta = $