જો sum_{r=1}^{30} frac{r^2({}^{30}C_r)^2}{{}^ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપણી પાસે પદ $S = \sum_{r=1}^{30} \frac{r^2({}^{30}C_r)^2}{{}^{30}C_{r-1}}$ છે.ગુણધર્મ $\frac{{}^{n}C_r}{{}^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયો

Vedclass · Accepted Answer

$465$

Vedclass · Answer

(D) આપણી પાસે પદ $S = \sum_{r=1}^{30} \frac{r^2({}^{30}C_r)^2}{{}^{30}C_{r-1}}$ છે.ગુણધર્મ $\frac{{}^{n}C_r}{{}^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{{}^{30}C_r}{{}^{30}C_{r-1}} = \frac{31-r}{r}$ મળે.તેથી,પદ $r(31-r) {}^{30}C_r$ બને છે.$r \cdot {}^{30}C_r = 30 \cdot {}^{29}C_{r-1}$ હોવાથી,સરવાળો $\sum_{r=1}^{30} 30 \cdot {}^{29}C_{r-1} (31-r)$ થાય.$k = r-1$ લેતા,$r = k+1$. જ્યારે $r$,$1$ થી $30$ જાય,ત્યારે $k$,$0$ થી $29$ જાય.$S = 30 \sum_{k=0}^{29} {}^{29}C_k (30-k) = 30 \left( 30 \sum_{k=0}^{29} {}^{29}C_k - \sum_{k=0}^{29} k \cdot {}^{29}C_k \right)$.$\sum_{k=0}^{n} {}^{n}C_k = 2^n$ અને $\sum_{k=0}^{n} k \cdot {}^{n}C_k = n \cdot 2^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:$S = 30 \left( 30 \cdot 2^{29} - 29 \cdot 2^{28} \right) = 30 \cdot 2^{28} (60 - 29) = 30 \cdot 31 \cdot 2^{28} = 15 \cdot 31 \cdot 2^{29} = 465 \cdot 2^{29}$.તેથી,$\alpha = 465$.

જો $\sum_{r=1}^{30} \frac{r^2({}^{30}C_r)^2}{{}^{30}C_{r-1}} = \alpha \times 2^{29}$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

$-{ }^{15}C_{1} 2 \cdot { }^{15}C_{2} - 3 \cdot { }^{15}C_{3} \ldots - 15 \cdot { }^{15}C_{15} { }^{14}C_{1} { }^{14}C_{3} { }^{14}C_{5} \ldots { }^{14}C_{11}$ ની કિંમત શોધો.

જો $n \in N$ માટે $(1+x)^n = C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + \ldots + C_n x^n$ હોય,તો $C_0 + \frac{C_1}{2} + \frac{C_2}{3} + \ldots + \frac{C_n}{n+1} =$

ધારો કે $(1 + x)^{10} = \sum_{r=0}^{10} C_r x^r$ અને $(1 + x)^7 = \sum_{r=0}^7 d_r x^r$ છે. જો $P = \sum_{r=0}^5 C_{2r}$ અને $Q = \sum_{r=0}^3 d_{2r+1}$ હોય,તો $\frac{P}{2Q}$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module