यदि f(x) = frac{2^x}{2^x + sqrt{2}},x in R है | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{2^x}{2^x + \sqrt{2}}$.$f(1-x) = \frac{2^{1-x}}{2^{1-x} + \sqrt{2}} = \frac{2/2^x}{2/2^x + \sqrt{2}} = \frac{2}{2 + \sqrt

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$\frac{81}{2}$

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(B) दिया गया है $f(x) = \frac{2^x}{2^x + \sqrt{2}}$.$f(1-x) = \frac{2^{1-x}}{2^{1-x} + \sqrt{2}} = \frac{2/2^x}{2/2^x + \sqrt{2}} = \frac{2}{2 + \sqrt{2} \cdot 2^x} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 2^x}$ प्राप्त करते हैं।अतः,$f(x) + f(1-x) = \frac{2^x}{2^x + \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{2^x + \sqrt{2}} = \frac{2^x + \sqrt{2}}{2^x + \sqrt{2}} = 1$ है।हमें $S = \sum_{k=1}^{81} f\left(\frac{k}{82}ight) = f\left(\frac{1}{82}ight) + f\left(\frac{2}{82}ight) + \dots + f\left(\frac{81}{82}ight)$ का मान ज्ञात करना है।पदों को युग्मित करने पर $f\left(\frac{k}{82}ight) + f\left(1 - \frac{k}{82}ight) = f\left(\frac{k}{82}ight) + f\left(\frac{82-k}{82}ight) = 1$ प्राप्त होता है।यहाँ $40$ ऐसे युग्म हैं ($k=1$ से $40$ तक) और मध्य पद $f\left(\frac{41}{82}ight) = f\left(\frac{1}{2}ight)$ है।$f\left(\frac{1}{2}ight) = \frac{2^{1/2}}{2^{1/2} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$ है।अतः,$S = 40 	imes 1 + \frac{1}{2} = \frac{81}{2}$।

यदि $f(x) = \frac{2^x}{2^x + \sqrt{2}}$,$x \in R$ है,तो $\sum_{k=1}^{81} f\left(\frac{k}{82}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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फलन $f(x) = [|x|] - |[x]|$ जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है:

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