यदि {z_1}, {z_2}, {z_3} तीन शून्येतर सम्मिश्र | vedclass

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Question

(C) दिया गया सारणिक $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} a & b & c \ b & c & a \ c & a & b \end{array}} ight| = 0$ है। सारणिक का विस्तार करने पर,हमें

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$arg{\left( {\frac{{{z_3} - {z_1}}}{{{z_2} - {z_1}}}} \right)^2}$

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(C) दिया गया सारणिक $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} a & b & c \ b & c & a \ c & a & b \end{array}} ight| = 0$ है। सारणिक का विस्तार करने पर,हमें $-(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = 0$। चूंकि $a, b, c$ शून्येतर सम्मिश्र संख्याओं के मापांक हैं,इसलिए $a, b, c > 0$,अतः $a+b+c 
eq 0$। इस प्रकार,$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca = 0$,जो सरल होकर $\frac{1}{2}((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2) = 0$ हो जाता है। इससे $a=b=c$ प्राप्त होता है। सम्मिश्र संख्याओं के ज्यामितीय गुणों और दिए गए विकल्पों के अनुसार,व्यंजक $arg{\left( {\frac{{{z_3} - {z_1}}}{{{z_2} - {z_1}}}} ight)^2}$ के बराबर है।

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यदि $a$ और $b$ $0$ और $1$ के बीच की वास्तविक संख्याएँ हैं,ताकि बिंदु $z_1 = a + i$,$z_2 = 1 + bi$ और $z_3 = 0$ एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं,तो

समीकरण $z\overline{z} + a\overline{z} + \overline{a}z + b = 0$,जहाँ $b \in \mathbb{R}$,एक वृत्त को दर्शाता है यदि

यदि $P, Q, R, S$ क्रमशः सम्मिश्र संख्याओं $4 + i, 1 + 6i, -4 + 3i, -1 - 2i$ द्वारा निरूपित हैं,तो $PQRS$ एक

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