यदि x=-1 और x=2 फलन f(x)=alpha log |x|+beta x | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(x)=\alpha \log |x|+\beta x^2+x$.अवकलन करने पर $f^{\prime}(x)=\frac{\alpha}{x}+2\beta x+1$ प्राप्त होता है।चूंकि $x=-1$ और $x=2$ चरम

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$\alpha=2, \beta=-\frac{1}{2}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $f(x)=\alpha \log |x|+\beta x^2+x$.अवकलन करने पर $f^{\prime}(x)=\frac{\alpha}{x}+2\beta x+1$ प्राप्त होता है।चूंकि $x=-1$ और $x=2$ चरम बिंदु हैं,इसलिए $f^{\prime}(-1)=0$ और $f^{\prime}(2)=0$ होगा।$x=-1$ के लिए: $\frac{\alpha}{-1}+2\beta(-1)+1=0 \Rightarrow -\alpha-2\beta+1=0 \Rightarrow \alpha+2\beta=1$ (समीकरण $i$)।$x=2$ के लिए: $\frac{\alpha}{2}+2\beta(2)+1=0 \Rightarrow \frac{\alpha}{2}+4\beta+1=0 \Rightarrow \alpha+8\beta=-2$ (समीकरण $ii$)।समीकरण (ii) में से $(i)$ को घटाने पर: $(\alpha+8\beta)-(\alpha+2\beta)=-2-1 \Rightarrow 6\beta=-3 \Rightarrow \beta=-\frac{1}{2}$।$\beta=-\frac{1}{2}$ का मान $(i)$ में रखने पर: $\alpha+2(-\frac{1}{2})=1 \Rightarrow \alpha-1=1 \Rightarrow \alpha=2$।अतः,$\alpha=2$ और $\beta=-\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

यदि $x=-1$ और $x=2$ फलन $f(x)=\alpha \log |x|+\beta x^2+x$ के चरम बिंदु हैं,तो

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फलन $f(x) = \begin{cases} 1-2x, & x < -1 \\ \frac{1}{3}(7+2|x|), & -1 \leq x \leq 2 \\ \frac{11}{18}(x-4)(x-5), & x > 2 \end{cases}$ के सभी स्थानीय न्यूनतम मानों का योग ज्ञात कीजिए।

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