यदि $f(x) = (\sin^4 x + \cos^4 x)$,$0 < x < \frac{\pi}{2}$ है,तो फलन का न्यूनतम मान $ . . . . . . $ है,जो $x = . . . . . . $ पर प्राप्त होता है।

मान लीजिए $x=2$ फलन $f(x)=2x^4-18x^2+8x+12$,$x \in (-4,4)$ का स्थानीय न्यूनतम है। यदि $M$ अंतराल $(-4,4)$ में फलन $f$ का स्थानीय अधिकतम मान है,तो $M =$

$f(x) = x^3 - 3x + 3$ द्वारा दिए गए फलन $f$ के सभी स्थानीय उच्चतम और स्थानीय निम्नतम बिंदु ज्ञात कीजिए।

माना $f(x) = \frac{\sin \pi x}{x^2}, x > 0$. माना $x_1 < x_2 < x_3 < \ldots < x_n < \ldots$ फलन $f(x)$ के सभी स्थानीय उच्चतम बिंदु हैं और $y_1 < y_2 < y_3 < \ldots < y_n < \ldots$ फलन $f(x)$ के सभी स्थानीय न्यूनतम बिंदु हैं। निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं?
$(1)$ प्रत्येक $n$ के लिए $|x_n - y_n| > 1$
$(2)$ $x_1 < y_1$
$(3)$ प्रत्येक $n$ के लिए $x_n \in (2n, 2n + \frac{1}{2})$
$(4)$ प्रत्येक $n$ के लिए $x_{n+1} - x_n > 2$

फलन $f(x) = x^{10} + x^2 + \frac{1}{x^{12}} + \frac{1}{1 + \sec^{-1} x}$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

फलन $f(x) = x^2 \log x$ का अंतराल $(1, e)$ में