यदि f(x) = log(sin x),x in left[frac{pi}{6}, | vedclass

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Question

(A) लैग्रेंज माध्य मान प्रमेय के अनुसार,कम से कम एक $c \in (a, b)$ ऐसा होता है कि $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ हो।यहाँ $f(x) = \log(\sin x)$ अं

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$\frac{\pi}{2}$

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(A) लैग्रेंज माध्य मान प्रमेय के अनुसार,कम से कम एक $c \in (a, b)$ ऐसा होता है कि $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ हो।यहाँ $f(x) = \log(\sin x)$ अंतराल $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right]$ पर दिया गया है,इसलिए $a = \frac{\pi}{6}$ और $b = \frac{5\pi}{6}$ है।सबसे पहले,अवकलन ज्ञात करें: $f'(x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x$.अतः,$f'(c) = \cot c$.अब,$f(a)$ और $f(b)$ का मान ज्ञात करें:$f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \log(\sin(\frac{\pi}{6})) = \log(\frac{1}{2})$$f\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \log(\sin(\frac{5\pi}{6})) = \log(\frac{1}{2})$अब,सूत्र में मान रखने पर:$f'(c) = \frac{\log(\frac{1}{2}) - \log(\frac{1}{2})}{\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6}} = \frac{0}{\frac{4\pi}{6}} = 0$.इसलिए,$\cot c = 0$,जिसका अर्थ है कि $c = \frac{\pi}{2}$।

यदि $f(x) = \log(\sin x)$,$x \in \left[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right]$ है,तो लैग्रेंज माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ लागू करने पर $c$ का मान ज्ञात कीजिए।

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