अंतराल $[0, 2\pi]$ पर $f(x)=\sin x+\cos x+6$ के लिए रोले के प्रमेय के अनुसार $c$ के मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f$ अंतराल $[a, b]$ पर एक सतत अवकलनीय फलन है और $(a, b)$ पर दो बार अवकलनीय है, इस प्रकार कि $f(a)=f^{\prime}(a)=0$ और $f(b)=0$ है। तब:

मान लीजिए $g: R \rightarrow R$ एक अचर न होने वाला दो बार अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि $g^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=g^{\prime}\left(\frac{3}{2}\right)$ है। यदि एक वास्तविक मान वाला फलन $f$ इस प्रकार परिभाषित है कि $f(x)=\frac{1}{2}[g(x)+g(2-x)]$,तो:

अंतराल $[1,3]$ में List-$I$ में दिए गए सभी फलनों पर विचार करें। List-$II$ में List-$I$ के फलनों पर लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ को लागू करके प्राप्त '$c$' के मान हैं। फलनों और '$c$' के मानों का मिलान करें।
(Table same as English)

यदि $2a + 3b + 6c = 0$ है,तो समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ का कम से कम एक मूल किस अंतराल में स्थित है?

मान लीजिए $f(x) = \int\limits_0^x {\left( {t + \frac{1}{t}} \right)\,dt}$ और $x \in \left[ {\frac{1}{2}, 3} \right]$ के लिए $g(x) = f'(x)$ है। यदि $P$ वक्र $y = g(x)$ पर एक ऐसा बिंदु है कि $P$ पर इस वक्र की स्पर्श रेखा,वक्र के बिंदुओं $\left( {\frac{1}{2}, g\left( {\frac{1}{2}} \right)} \right)$ और $(3, g(3))$ को जोड़ने वाली जीवा के समानांतर है,तो बिंदु $P$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।