यदि y=y(x) समीकरण left(frac{2+sin x}{1+y}righ | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(\frac{2+\sin x}{1+y}\right) \frac{dy}{dx} = -\cos x$ है। चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{1+y} = -\frac{\cos x}{2+\sin

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(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(\frac{2+\sin x}{1+y}\right) \frac{dy}{dx} = -\cos x$ है। चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{1+y} = -\frac{\cos x}{2+\sin x} dx$ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{1}{1+y} dy = -\int \frac{\cos x}{2+\sin x} dx$। इससे हमें मिलता है: $\ln|1+y| = -\ln|2+\sin x| + C$। प्रारंभिक शर्त $y(0)=2$ का उपयोग करने पर: $\ln|1+2| = -\ln|2+\sin 0| + C \implies \ln 3 = -\ln 2 + C \implies C = \ln 3 + \ln 2 = \ln 6$। अतः,$\ln(1+y) = -\ln(2+\sin x) + \ln 6 = \ln\left(\frac{6}{2+\sin x}\right)$। इसलिए,$1+y = \frac{6}{2+\sin x} \implies y = \frac{6}{2+\sin x} - 1$। अब,$y\left(\frac{\pi}{2}\right)$ का मान ज्ञात करें: $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{6}{2+\sin(\pi/2)} - 1 = \frac{6}{2+1} - 1 = \frac{6}{3} - 1 = 2 - 1 = 1$।

यदि $y=y(x)$ समीकरण $\left(\frac{2+\sin x}{1+y}\right) \frac{dy}{dx} = -\cos x$ को संतुष्ट करता है और $y(0)=2$ है,तो $y\left(\frac{\pi}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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