यदि f(x) = log_{x^2}(log_{e} x) है,तो x = e प | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(x) = \log_{x^2}(\log_{e} x)$।आधार परिवर्तन सूत्र $\log_{a} b = \frac{\log b}{\log a}$ का उपयोग करने पर:$f(x) = \frac{\log(\log_{e}

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$\frac{1}{2e}$

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(C) दिया गया है $f(x) = \log_{x^2}(\log_{e} x)$।आधार परिवर्तन सूत्र $\log_{a} b = \frac{\log b}{\log a}$ का उपयोग करने पर:$f(x) = \frac{\log(\log_{e} x)}{\log(x^2)} = \frac{\log(\log_{e} x)}{2 \log x}$।अब,भागफल नियम $\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime} = \frac{u^{\prime}v - uv^{\prime}}{v^2}$ का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{\frac{d}{dx}(\log(\log_{e} x)) \cdot \log x - \log(\log_{e} x) \cdot \frac{d}{dx}(\log x)}{(\log x)^2} \right]$$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{\frac{1}{\log_{e} x} \cdot \frac{1}{x} \cdot \log x - \log(\log_{e} x) \cdot \frac{1}{x}}{(\log x)^2} \right]$चूंकि $\log_{e} x = \log x$,इसलिए व्यंजक सरल होकर निम्न हो जाता है:$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{\frac{1}{x} - \frac{\log(\log_{e} x)}{x}}{(\log x)^2} \right] = \frac{1 - \log(\log_{e} x)}{2x(\log x)^2}$।$x = e$ रखने पर,$\log_{e} e = 1$ और $\log(\log_{e} e) = \log(1) = 0$।$f^{\prime}(e) = \frac{1 - 0}{2e(1)^2} = \frac{1}{2e}$।

यदि $f(x) = \log_{x^2}(\log_{e} x)$ है,तो $x = e$ पर $f^{\prime}(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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