यदि y = log^n x है, जहाँ log^n का अर्थ n-वां | vedclass

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Question

(C) माना $y_n = \log^n x$ है। तब $y_n = \log(y_{n-1})$, जहाँ $y_1 = \log x$, $y_2 = \log(\log x)$, इत्यादि है।श्रृंखला नियम (chain rule) के अनुसार, $\

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(C) माना $y_n = \log^n x$ है। तब $y_n = \log(y_{n-1})$, जहाँ $y_1 = \log x$, $y_2 = \log(\log x)$, इत्यादि है।श्रृंखला नियम (chain rule) के अनुसार, $\frac{dy_n}{dx} = \frac{d}{dx}(\log y_{n-1}) = \frac{1}{y_{n-1}} \cdot \frac{dy_{n-1}}{dx}$ है।इसे विस्तारित करने पर, $\frac{dy_n}{dx} = \frac{1}{y_{n-1}} \cdot \frac{1}{y_{n-2}} \cdot \dots \cdot \frac{1}{y_1} \cdot \frac{d}{dx}(\log x)$ प्राप्त होता है।चूंकि $\frac{d}{dx}(\log x) = \frac{1}{x}$ है, इसलिए $\frac{dy_n}{dx} = \frac{1}{y_{n-1} y_{n-2} \dots y_1 x}$ है।$y_k = \log^k x$ प्रतिस्थापित करने पर, $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \log x \log^2 x \dots \log^{n-1} x}$ प्राप्त होता है।अतः, $x \log x \log^2 x \dots \log^{n-1} x \frac{dy}{dx} = 1$ है।

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