यदि n एक सम धनात्मक पूर्णांक है,तो (1 + x)^n | vedclass

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Question

(A) यदि $n$ सम है,तो महत्तम गुणांक $^nC_{n/2}$ है।महत्तम पद का गुणांक महत्तम होने के लिए,पद $T_{n/2+1} = ^nC_{n/2} x^{n/2}$ को अपने पड़ोसी पदों $T_{n/

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$\frac{n}{n + 2} < x < \frac{n + 2}{n}$

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(A) यदि $n$ सम है,तो महत्तम गुणांक $^nC_{n/2}$ है।महत्तम पद का गुणांक महत्तम होने के लिए,पद $T_{n/2+1} = ^nC_{n/2} x^{n/2}$ को अपने पड़ोसी पदों $T_{n/2}$ और $T_{n/2+2}$ से बड़ा होना चाहिए।$T_{n/2+1} > T_{n/2} \implies ^nC_{n/2} x^{n/2} > ^nC_{n/2-1} x^{n/2-1} \implies x > \frac{^nC_{n/2-1}}{^nC_{n/2}} = \frac{n}{n + 2}$.$T_{n/2+1} > T_{n/2+2} \implies ^nC_{n/2} x^{n/2} > ^nC_{n/2+1} x^{n/2+1} \implies x अतः,शर्त $\frac{n}{n + 2} < x < \frac{n + 2}{n}$ है।

यदि $n$ एक सम धनात्मक पूर्णांक है,तो $(1 + x)^n$ के विस्तार में महत्तम पद का गुणांक भी महत्तम हो,इसके लिए शर्त है:

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$n$ का वह न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $(\sqrt[3]{7}+\sqrt[12]{11})^{n}$ के द्विपद विस्तार में पूर्णांक पदों की संख्या $183$ है:

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$(x + 3)^{n - 1} + (x + 3)^{n - 2}(x + 2) + (x + 3)^{n - 3}(x + 2)^2 + ... + (x + 2)^{n - 1}$ के विस्तार में $x^r$ के गुणांक ज्ञात कीजिए,जहाँ $0 \le r \le (n - 1)$ है।

$(1 + x + 2x^3)\left( \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{3x} \right)^9$ के विस्तार में $x$ से स्वतंत्र पद का गुणांक ज्ञात कीजिए।

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