यदि f(x) = cot^{-1}left(frac{x^x - x^{-x}}{2} | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \cot^{-1}\left(\frac{x^x - x^{-x}}{2}\right)$.मान लीजिए $u = x^x$. तब $f(x) = \cot^{-1}\left(\frac{u - u^{-1}}{2}\right) = \co

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-$1$

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(A) दिया गया है $f(x) = \cot^{-1}\left(\frac{x^x - x^{-x}}{2}ight)$.मान लीजिए $u = x^x$. तब $f(x) = \cot^{-1}\left(\frac{u - u^{-1}}{2}ight) = \cot^{-1}\left(\frac{u^2 - 1}{2u}ight)$.सर्वसमिका $\cot^{-1}(z) = 	an^{-1}(1/z)$ का उपयोग करने पर,$f(x) = 	an^{-1}\left(\frac{2u}{u^2 - 1}ight)$ प्राप्त होता है।हम जानते हैं कि $2	an^{-1}(u) = 	an^{-1}\left(\frac{2u}{1 - u^2}ight)$,इसलिए $f(x) = -2	an^{-1}(u) + \frac{\pi}{2}$ (उचित परिसर के लिए)।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $f'(x) = -2 \cdot \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{du}{dx}$.चूँकि $u = x^x$,इसलिए $\frac{du}{dx} = x^x(1 + \ln x)$.$x = 1$ पर,$u = 1^1 = 1$ और $\frac{du}{dx} = 1^1(1 + \ln 1) = 1$.अतः,$f'(1) = -2 \cdot \frac{1}{1 + 1^2} \cdot 1 = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1$.

यदि $f(x) = \cot^{-1}\left(\frac{x^x - x^{-x}}{2}\right)$ है,तो $f'(1)$ का मान किसके बराबर है?

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