यदि int frac{e^x}{sqrt{e^{2x}+4e^x+13}} dx = | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int \frac{e^x}{\sqrt{e^{2x}+4e^x+13}} dx$. $u = e^x$ प्रतिस्थापित करने पर,$du = e^x dx$ प्राप्त होता है। अतः समाकलन $I = \int \frac{du}

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$1$

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(B) माना $I = \int \frac{e^x}{\sqrt{e^{2x}+4e^x+13}} dx$. $u = e^x$ प्रतिस्थापित करने पर,$du = e^x dx$ प्राप्त होता है। अतः समाकलन $I = \int \frac{du}{\sqrt{u^2+4u+13}}$ हो जाता है। द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग बनाने पर: $u^2+4u+13 = (u+2)^2 + 9 = (u+2)^2 + 3^2$. मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = \log |x + \sqrt{x^2+a^2}| + c$ का उपयोग करने पर: $I = \log |(u+2) + \sqrt{(u+2)^2 + 3^2}| + c$. $u = e^x$ वापस रखने पर: $I = \log |e^x + 2 + \sqrt{e^{2x}+4e^x+13}| + c$. दिए गए व्यंजक $\log |e^{ax}+2+\sqrt{e^{2x}+4e^x+13}| + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 1$ प्राप्त होता है।

यदि $\int \frac{e^x}{\sqrt{e^{2x}+4e^x+13}} dx = \log \left|e^{ax}+2+\sqrt{e^{2x}+4e^x+13}\right|+c$ है,(जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है),तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

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