यदि $(1 + x)^n = C_0 + C_1x + C_2x^2 + ... + C_nx^n$ है,तो $C_0 + C_2 + C_4 + C_6 + ...$ का मान क्या है?

माना $m, n \in \mathbb{N}$ और $\operatorname{gcd}(2, n)=1$ है। यदि $30\binom{30}{0} + 29\binom{30}{1} + \ldots + 2\binom{30}{28} + 1\binom{30}{29} = n \cdot 2^m$ है,तो $n + m$ का मान ज्ञात कीजिए। (यहाँ $\binom{n}{k} = {^nC_k}$)

यदि $c_0, c_1, c_2, \ldots, c_n$ प्रसार $(1+x)^n$ में गुणांकों को दर्शाते हैं, तो $c_1 + 2c_2 + 3c_3 + \ldots + nc_n$ का मान क्या है?

$z \in \mathbb{C}$ के लिए,यदि $(1+z)^n = 1 + { }^n C_1 z + { }^n C_2 z^2 + \ldots + { }^n C_n z^n$ और $\sum_{r=0}^{100} { }^{100} C_r \sin(rx) = \left(2 \cos \frac{x}{2}\right)^{100} \sin(kx)$ है,तो $k =$

यदि $\binom{10}{2} + \binom{10}{3} + \binom{11}{4} + \binom{12}{5} + \binom{13}{6} = \binom{14}{r}$ है,तो $r = \dots$

$\sum\limits_{k = 0}^{10} {^{20}{C_k} = }$