यदि {C_0}, {C_1}, {C_2}, ......., {C_n} द्विप | vedclass

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Question

(B) हम जानते हैं कि:$(1 + x)^n = {C_0} + {C_1}x + {C_2}x^2 + {C_3}x^3 + ..... + {C_n}x^n$$(1 - x)^n = {C_0} - {C_1}x + {C_2}x^2 - {C_3}x^3 + ..... + (

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$\frac{{3^n - (-1)^n}}{2}$

Vedclass · Answer

(B) हम जानते हैं कि:$(1 + x)^n = {C_0} + {C_1}x + {C_2}x^2 + {C_3}x^3 + ..... + {C_n}x^n$$(1 - x)^n = {C_0} - {C_1}x + {C_2}x^2 - {C_3}x^3 + ..... + (-1)^n{C_n}x^n$दोनों समीकरणों को घटाने पर:$(1 + x)^n - (1 - x)^n = 2({C_1}x + {C_3}x^3 + {C_5}x^5 + .....)$$2$ से भाग देने पर:$\frac{(1 + x)^n - (1 - x)^n}{2} = {C_1}x + {C_3}x^3 + {C_5}x^5 + .....$श्रेणी $2.{C_1} + {2^3}.{C_3} + {2^5}.{C_5} + ....$ प्राप्त करने के लिए,$x = 2$ रखने पर:$2.{C_1} + {2^3}.{C_3} + {2^5}.{C_5} + ..... = \frac{(1 + 2)^n - (1 - 2)^n}{2} = \frac{3^n - (-1)^n}{2}$

यदि ${C_0}, {C_1}, {C_2}, ......., {C_n}$ द्विपद गुणांक हैं,तो $2.{C_1} + {2^3}.{C_3} + {2^5}.{C_5} + ....$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $\sum\limits_{k=1}^{31} \binom{31}{k} \binom{31}{k-1} - \sum\limits_{k=1}^{30} \binom{30}{k} \binom{30}{k-1} = \frac{\alpha(60!)}{(30!)(31!)}$,जहाँ $\alpha \in R$,तो $16\alpha$ का मान क्या है?

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यदि ${S_n} = \sum\limits_{r = 0}^n {\frac{1}{{^n{C_r}}}} $ और ${t_n} = \sum\limits_{r = 0}^n {\frac{r}{{^n{C_r}}}} $ है,तो $\frac{{{t_n}}}{{{S_n}}}$ का मान क्या होगा?

$(1+x)^n$ के विस्तार में,$\frac{C_1}{C_0} + 2 \frac{C_2}{C_1} + 3 \frac{C_3}{C_2} + \ldots + n \frac{C_n}{C_{n-1}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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