यदि int frac{x^4+1}{x(x^2+1)^2} dx = A log |x | vedclass

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Question

(A) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{x^4+1}{x(x^2+1)^2} dx$ है। अंश और हर को $x$ से गुणा करने पर: $I = \int \frac{x(x^4+1)}{x^2(x^2+1)^2} dx$. माना $x

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(A) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{x^4+1}{x(x^2+1)^2} dx$ है। अंश और हर को $x$ से गुणा करने पर: $I = \int \frac{x(x^4+1)}{x^2(x^2+1)^2} dx$. माना $x^2 = t$,तब $2x dx = dt$,अर्थात $x dx = \frac{dt}{2}$. इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \frac{1}{2} \int \frac{t^2+1}{t(t+1)^2} dt$. आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{t^2+1}{t(t+1)^2} = \frac{A_1}{t} + \frac{B_1}{t+1} + \frac{C_1}{(t+1)^2}$. $t^2+1 = A_1(t+1)^2 + B_1 t(t+1) + C_1 t$. $t=0$ रखने पर,$1 = A_1(1)^2 \implies A_1 = 1$. $t=-1$ रखने पर,$2 = C_1(-1) \implies C_1 = -2$. $t^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $1 = A_1 + B_1 \implies 1 = 1 + B_1 \implies B_1 = 0$. अतः,$I = \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{t} - \frac{2}{(t+1)^2} \right) dt = \frac{1}{2} \left( \log |t| + \frac{2}{t+1} \right) + c$. $I = \frac{1}{2} \log |x^2| + \frac{1}{x^2+1} + c = \log |x| + \frac{1}{x^2+1} + c$. $A \log |x| + \frac{B}{1+x^2} + c$ से तुलना करने पर,हमें $A = 1$ और $B = 1$ प्राप्त होता है। अतः,$A-B = 1-1 = 0$.

यदि $\int \frac{x^4+1}{x(x^2+1)^2} dx = A \log |x| + \frac{B}{1+x^2} + c$ है,तो $A-B$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $c$ समाकलन स्थिरांक है)।

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यदि $\int \frac{x^2}{(x-1)(x-2)(x-3)} dx = \log_e f(x) + C$ है,तो $f(x) =$

$\int \frac{\cos x}{(1 + \sin x)(2 + \sin x)} \,dx = $

फलन का समाकलन कीजिए: $\frac{1}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)}$

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