यदि n एक प्राकृतिक संख्या है,तो left( frac{n+ | vedclass

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Question

(B) हम असमिका $\left( \frac{n+1}{2} \right)^n \ge n!$ को $n \in \mathbb{N}$ के लिए जाँचते हैं।$n = 1$ के लिए: $\left( \frac{1+1}{2} \right)^1 = 1^1 =

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$n \ge 1$

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(B) हम असमिका $\left( \frac{n+1}{2} \right)^n \ge n!$ को $n \in \mathbb{N}$ के लिए जाँचते हैं।$n = 1$ के लिए: $\left( \frac{1+1}{2} \right)^1 = 1^1 = 1$ और $1! = 1$. चूँकि $1 \ge 1$,कथन $n = 1$ के लिए सत्य है।$n = 2$ के लिए: $\left( \frac{2+1}{2} \right)^2 = (1.5)^2 = 2.25$ और $2! = 2$. चूँकि $2.25 \ge 2$,कथन $n = 2$ के लिए सत्य है।$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$\frac{1+2+\dots+n}{n} \ge \sqrt[n]{n!}$.अतः $\frac{n(n+1)}{2n} \ge (n!)^{1/n}$,जो $\frac{n+1}{2} \ge (n!)^{1/n}$ देता है।दोनों पक्षों की घात $n$ करने पर,$\left( \frac{n+1}{2} \right)^n \ge n!$ प्राप्त होता है,जो सभी $n \ge 1$ के लिए सत्य है।

यदि $n$ एक प्राकृतिक संख्या है,तो $\left( \frac{n+1}{2} \right)^n \ge n!$ कब सत्य है?

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