જો n એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોય,તો left( frac{n+1 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપણે અસમતા $\left( \frac{n+1}{2} \right)^n \ge n!$ ને $n \in \mathbb{N}$ માટે ચકાસીએ.$n = 1$ માટે: $\left( \frac{1+1}{2} \right)^1 = 1^1 = 1$ અને

Vedclass · Accepted Answer

$n \ge 1$

Vedclass · Answer

(B) આપણે અસમતા $\left( \frac{n+1}{2} \right)^n \ge n!$ ને $n \in \mathbb{N}$ માટે ચકાસીએ.$n = 1$ માટે: $\left( \frac{1+1}{2} \right)^1 = 1^1 = 1$ અને $1! = 1$. $1 \ge 1$ હોવાથી,વિધાન $n = 1$ માટે સત્ય છે.$n = 2$ માટે: $\left( \frac{2+1}{2} \right)^2 = (1.5)^2 = 2.25$ અને $2! = 2$. $2.25 \ge 2$ હોવાથી,વિધાન $n = 2$ માટે સત્ય છે.$AM$-$GM$ અસમતા મુજબ,$\frac{1+2+\dots+n}{n} \ge \sqrt[n]{n!}$.તેથી $\frac{n(n+1)}{2n} \ge (n!)^{1/n}$,જે $\frac{n+1}{2} \ge (n!)^{1/n}$ આપે છે.બંને બાજુ $n$ ઘાત લેતા,$\left( \frac{n+1}{2} \right)^n \ge n!$ મળે છે,જે તમામ $n \ge 1$ માટે સત્ય છે.

જો $n$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોય,તો $\left( \frac{n+1}{2} \right)^n \ge n!$ ક્યારે સત્ય છે?

Similar Questions

$7$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી તમામ $4$-અંકી સંખ્યાઓનો મધ્યસ્થ શોધો.

બે સમાંતર શ્રેણીઓના $n$ પદોના સરવાળાનો ગુણોત્તર $5n+4 : 9n+6$ છે. તેમના $18$ મા પદોનો ગુણોત્તર શોધો.

જો સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $cn^2$ હોય,તો આ $n$ પદોના વર્ગનો સરવાળો કેટલો થાય?

$a$ અને $b$ વચ્ચેના $n$ સમાંતર મધ્યકોનો સરવાળો કેટલો થાય?

જો સમાંતર શ્રેણીનાં $n$ પદોનો સરવાળો $3n^2 + 5n$ હોય અને $t_n = 164$ હોય,તો $n = \dots$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module