यदि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ तीन सदिश इस प्रकार हैं कि $|\bar{a}|=\sqrt{31}, 4|\bar{b}|=|\bar{c}|=2$ और $2(\bar{a} \times \bar{b})=3(\bar{c} \times \bar{a})$ और यदि $\bar{b}$ और $\bar{c}$ के बीच का कोण $\frac{2\pi}{3}$ है,तो $\left|\frac{\bar{a} \times \bar{c}}{\bar{a} \cdot \bar{b}}\right|^2=$

निम्नलिखित सूचियों का अवलोकन करें। फिर सूची-$I$ के लिए सूची-$II$ से सही मिलान है:

सूची-$I$	सूची-$II$
$(A)$ $[\mathbf{a} \mathbf{b} \mathbf{c}]$	$1. |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos(\mathbf{a}, \mathbf{b})$
$(B)$ $(\mathbf{c} \times \mathbf{a}) \times \mathbf{b}$	$2. (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c}$
$(C)$ $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$	$3. \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$
$(D)$ $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$	$4. |\mathbf{a}||\mathbf{b}|$
	$5. (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})\mathbf{a} - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c}$

मान लीजिए $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ $xyz$-अंतरिक्ष में तीन सदिश इस प्रकार हैं कि $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a} \neq 0$ है। यदि $A, B, C$ क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ स्थिति सदिश वाले बिंदु हैं,तो $\triangle ABC$ के केंद्रक की संभावित स्थितियों की संख्या क्या है?

यदि $\vec{a}+l \vec{b}+l^2 \vec{c}=0$ और $\vec{a} \times \vec{b}+\vec{b} \times \vec{c}+\vec{c} \times \vec{a}=3(\vec{b} \times \vec{c})$ है, तो ऐसे $l$ का न्यूनतम मान क्या है?

मान लीजिए $\vec{w}=\hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$,और $\vec{u}$ तथा $\vec{v}$ दो सदिश इस प्रकार हैं कि $\vec{u} \times \vec{v}=\vec{w}$ और $\vec{v} \times \vec{w}=\vec{u}$। मान लीजिए $\alpha, \beta, \gamma$ और $t$ वास्तविक संख्याएँ हैं जैसे कि $\vec{u}=\alpha \hat{i}+\beta \hat{j}+\gamma \hat{k}$,$-t \alpha+\beta+\gamma=0$,$\alpha-t \beta+\gamma=0$,और $\alpha+\beta-t \gamma=0$। List-$I$ की प्रत्येक प्रविष्टि का List-$II$ की सही प्रविष्टि से मिलान करें और सही विकल्प चुनें।

List-$I$	List-$II$
$(P)$ $|\vec{v}|^2$ बराबर है	$(1)$ $0$
$(Q)$ यदि $\alpha=\sqrt{3}$,तो $\gamma^2$ बराबर है	$(2)$ $1$
$(R)$ यदि $\alpha=\sqrt{3}$,तो $(\beta+\gamma)^2$ बराबर है	$(3)$ $2$
$(S)$ यदि $\alpha=\sqrt{2}$,तो $t+3$ बराबर है	$(4)$ $3$
	$(5)$ $5$

मान लीजिए $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ तीन इकाई सदिश इस प्रकार हैं कि $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$। यदि $\lambda=\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}$ और $\vec{d}=\vec{a} \times \vec{b}+\vec{b} \times \vec{c}+\vec{c} \times \vec{a}$ है,तो क्रमित युग्म $(\lambda, \vec{d})$ किसके बराबर है?