यदि $|\vec{a}|=\sqrt{26}$,$|\vec{b}|=7$ और $|\vec{a} \times \vec{b}|=35$ है,तो $\vec{a} \cdot \vec{b}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि परस्पर लंब इकाई सदिशों $\hat{i}, \hat{j}$ और $\hat{k}$ की दाहिने हाथ की प्रणाली के संदर्भ में,$\vec{\alpha} = 3\hat{i} - \hat{j}$ और $\vec{\beta} = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ है,तो $\vec{\beta}$ को $\vec{\beta} = \vec{\beta}_{1} + \vec{\beta}_{2}$ के रूप में व्यक्त करें,जहाँ $\vec{\beta}_{1}$,$\vec{\alpha}$ के समानांतर है और $\vec{\beta}_{2}$,$\vec{\alpha}$ के लंबवत है।

यदि $\vec{a}$ एक शून्येतर सदिश है,जिसके सदिशों $2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$,$\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}$ और $\hat{k}$ पर प्रक्षेप समान हैं,तो $\vec{a}$ की दिशा में इकाई सदिश क्या है?

यदि $\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{c} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और माना $\vec{d}$ इस प्रकार है कि $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{d} \times \vec{b}$ और $\vec{d} \cdot \vec{c} = 8$,तो $\vec{d} \cdot \vec{b}$ का मान ज्ञात कीजिए:

माना $a = \sin^2 x \hat{i} + \cos^2 x \hat{j} + \hat{k}$, जहाँ $x \in R$ है। यदि सदिशों के युग्म $(a, \hat{i})$, $(a, \hat{j})$, और $(a, \hat{k})$ $3$ अलग-अलग समांतर चतुर्भुजों की आसन्न भुजाएँ हैं और $A$ इन समांतर चतुर्भुजों के क्षेत्रफलों के वर्गों का योग है, तो $A$ किस अंतराल में स्थित है?

मान लीजिए $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है जहाँ $\vec{AB} = \vec{q}$ और $\vec{AD} = \vec{p}$,और $\angle BAD$ एक न्यून कोण है। यदि $\vec{r}$ एक ऐसा सदिश है जो शीर्ष $B$ से भुजा $AD$ पर डाले गए लंब (altitude) के संपाती है,तो $\vec{r}$ ज्ञात कीजिए।