જો $[(\overline{a}+2 \overline{b}+3 \overline{c}) \times(\overline{b}+2 \overline{c}+3 \overline{a})] \cdot(\overline{c}+2 \overline{a}+3 \overline{b})=54$ હોય,તો $[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}]$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો $\bar{a} = \bar{i} - \bar{j}$,$\bar{b} = \bar{j} - \bar{k}$,$\bar{c} = \bar{k} - \bar{i}$ અને $\bar{d}$ એક એકમ સદિશ હોય કે જેથી $\bar{a} \cdot \bar{d} = 0$ અને $[\bar{b} \bar{c} \bar{d}] = 0$ થાય,તો સદિશ $\bar{d} = ....$

ધારો કે $a, b$ અને $c$ ભિન્ન ધન સંખ્યાઓ છે. જો સદિશો $a \hat{i} + a \hat{j} + c \hat{k}$,$\hat{i} + \hat{k}$ અને $c \hat{i} + c \hat{j} + b \hat{k}$ સમતલીય હોય,તો $c$ ની કિંમત શું થાય?

ધારો કે સદિશ $\vec{a}$ એ સદિશો $\vec{b}=2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{c}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ સાથે સમતલીય છે. જો $\vec{a}$ એ $\vec{d}=3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}$ ને લંબ હોય,અને $|\vec{a}|=\sqrt{10}$ હોય,તો $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]+[\vec{a} \vec{b} \vec{d}]+[\vec{a} \vec{c} \vec{d}]$ ની શક્ય કિંમત કેટલી થાય?

જો $\bar{u}=\hat{\imath}-2 \hat{\jmath}+\hat{k}, \bar{v}=3 \hat{\imath}+\hat{k}$ અને $\bar{w}=\hat{\jmath}-\hat{k}$ હોય,તો $\bar{u} \times \bar{v}, \bar{u}+\bar{w}$ અને $\bar{v}+\bar{w}$ ને ધાર તરીકે ધરાવતા સમાંતરફલક (parallelepiped) નું ઘનફળ શોધો. ($\text{ઘન એકમ}$ માં)

જો $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{c} = r\hat{i} + \hat{j} + (2r - 1)\hat{k}$ એ ત્રણ સદિશો છે કે જેથી $\vec{c}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલને સમાંતર હોય,તો $r$ ની કિંમત શોધો.