જો $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ એ અસમતલીય એકમ સદિશો હોય કે જેથી $\bar{a} \times(\bar{b} \times \bar{c})=\frac{(\bar{b}+\bar{c})}{\sqrt{2}}$ થાય,તો $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો જેના વિકર્ણો સદિશો $2\vec{a} - \vec{b}$ અને $4\vec{a} - 5\vec{b}$ છે,જ્યાં $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ એકમ સદિશો છે જે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.

જો $(\bar{i}+\bar{j}+\bar{k})$,$(\bar{i}+2\bar{j}+3\bar{k})$ અને $(2\bar{i}-\bar{j}+\bar{k})$ એ $\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A, B$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો હોય,તો $A$ માંથી પસાર થતા વેધનું સદિશ સમીકરણ શોધો.

જો $|\bar{u}| = 8$ અને $|\bar{v}| = 12$ હોય અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $150^{\circ}$ હોય,તો $|\bar{u} \times \bar{v}|$ શોધો.

ધારો કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ત્રણ સદિશો છે જેથી $|\vec{a}|=\sqrt{31}$,$4|\vec{b}|=|\vec{c}|=2$ અને $2(\vec{a} \times \vec{b})=3(\vec{c} \times \vec{a})$ થાય. જો $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{2\pi}{3}$ હોય,તો $\left(\frac{\vec{a} \times \vec{c}}{\vec{a} \cdot \vec{b}}\right)^2$ ની કિંમત $............$ છે.

જો $a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0, a \times b = 0$ અને $b \times c = 0$ હોય,તો $a \times c$ ની કિંમત શું થાય?