જો $\left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & x & 3 \\ 3 & 4 & 5 \end{array} \right| = 0$ હોય,તો $x =$

$(1, -1)$,$(-1, 1)$ અને $(-1, -1)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?

ધારો કે $\omega = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$,જ્યાં $i = \sqrt{-1}$. તો $\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1-\omega^2 & \omega^2 \\ 1 & \omega^2 & \omega^4 \end{array} \right|$ નું મૂલ્ય શોધો.

સમીકરણ $\left| \begin{matrix} x & -6 & -1 \\ 2 & -3x & x-3 \\ -3 & 2x & x+2 \end{matrix} \right| = 0$ ના વાસ્તવિક બીજનો સરવાળો કેટલો થાય?

ધારો કે $S$ એ $\theta \in [-\pi, \pi]$ ના તમામ મૂલ્યોનો સમૂહ છે જેના માટે સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ
$x + y + \sqrt{3} z = 0$
$-x + (\tan \theta) y + \sqrt{7} z = 0$
$x + y + (\tan \theta) z = 0$
નો શૂન્યેતર ઉકેલ મળે છે. તો $\frac{120}{\pi} \sum_{\theta \in S} \theta$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\theta$ ની એક કિંમત જેના માટે નીચેની સમીકરણ સંહતિનો શૂન્યતર ઉકેલ મળે તે છે:
$(4 \sin \theta) x - 3y + z = 0$
$x - (6 \cos 2\theta) y + z = 0$
$3x - 12y + 4z = 0$