यदि $P(n): 2^{n} < n!$ है,तो वह सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक जिसके लिए $P(n)$ सत्य है,है

मान लीजिए $P(n) : 3^n < n!$ जहाँ $n \in N$,$n \geq \lambda$ के लिए सत्य है। $\lambda$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,संख्याएँ $a_n$ इस प्रकार परिभाषित हैं:
$a_0 = 1, a_{n+1} = 3n^2 + n + a_n, (n \geq 0)$।
तो,$a_n$ का मान क्या है?

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके दर्शाइए कि $a_{1}=3$ और सभी प्राकृतिक संख्याओं $k > 1$ के लिए $a_{k}=7 a_{k-1}$ द्वारा परिभाषित अनुक्रम $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ के लिए,सभी $n \in N$ के लिए सामान्य पद $a_{n}=3 \cdot 7^{n-1}$ है।

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी $n \in N$ के लिए:
$\cos \alpha + \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha + 2\beta) + \ldots + \cos [\alpha + (n-1)\beta] = \frac{\cos \left[\alpha + \left(\frac{n-1}{2}\right) \beta\right] \sin \left(\frac{n\beta}{2}\right)}{\sin \left(\frac{\beta}{2}\right)}$

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि: सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए $n^{3}-7n+3$,$3$ से विभाज्य है।