જો $f(x)=\left|\begin{array}{ccc}x-3 & 2x^2-18 & 2x^3-81 \\ x-5 & 2x^2-50 & 4x^3-500 \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right|$ હોય,તો $f(1) \cdot f(3)+f(3) \cdot f(5)+f(5) \cdot f(1)$ ની કિંમત શોધો.

સમીકરણ $\left| \begin{array}{ccc} 3 - x & -6 & 3 \\ -6 & 3 - x & 3 \\ 3 & 3 & -6 - x \end{array} \right| = 0$ નું એક બીજ છે

ત્રણ અંકની સંખ્યાઓ $x17$,$3y6$,અને $12z$,જ્યાં $x, y, z$ એ $0$ થી $9$ સુધીના પૂર્ણાંકો છે,તે એક નિશ્ચિત અચળાંક $k$ વડે વિભાજ્ય છે. તો નિશ્ચાયક $\left| \begin{array}{ccc} x & 3 & 1 \\ 7 & 6 & z \\ 1 & y & 2 \end{array} \right| + 48$ એ કોના વડે વિભાજ્ય હોવું જોઈએ?

જો $w = \frac{-1-i \sqrt{3}}{2}$ જ્યાં $i = \sqrt{-1}$ હોય,તો $\left|\begin{array}{ccc}1 & w & w^2 \\ w & w^2 & 1 \\ w^2 & 1 & w\end{array}\right|$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & -3 \\ 5 & 4 & -9 \end{bmatrix}$ હોય,તો $|A|$ શોધો.

ધારો કે $S$ એ $\theta \in [-\pi, \pi]$ ના તમામ મૂલ્યોનો સમૂહ છે જેના માટે સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ
$x + y + \sqrt{3} z = 0$
$-x + (\tan \theta) y + \sqrt{7} z = 0$
$x + y + (\tan \theta) z = 0$
નો શૂન્યેતર ઉકેલ મળે છે. તો $\frac{120}{\pi} \sum_{\theta \in S} \theta$ નું મૂલ્ય શોધો.