यदि $f: R \rightarrow R$ को $f(x)=|x|$ द्वारा परिभाषित किया गया है,तो

मान लीजिए $f(x) = (x - 1)^2 + 1$,जहाँ $x \ge 1$ है।
कथन-$1$: $S = \{x : f(x) = f^{-1}(x)\} = \{1, 2\}$.
कथन-$2$: $f$ एक बाइजेक्शन (एकैकी और आच्छादक) है और $f^{-1}(x) = 1 + \sqrt{x - 1}$,जहाँ $x \ge 1$ है।

मान लीजिए $f(x) = \frac{x^2 - x}{x^2 + 2x}$,$x \ne 0, -2$ है। तो $\frac{d}{dx}[f^{-1}(x)]$ (जहाँ भी यह परिभाषित है) का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $Y = \{n^{2} : n \in N\} \subset N$ है। $f: N \rightarrow Y$ को $f(n) = n^{2}$ के रूप में परिभाषित कीजिए। दर्शाइए कि $f$ व्युत्क्रमणीय है। $f$ का प्रतिलोम ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित में से किस फलन का प्रतिलोम (inverse) परिभाषित नहीं किया जा सकता है? (जहाँ $[.] \to$ महत्तम पूर्णांक फलन)

मान लीजिए $f(x) = x^3 + 8x + 3$ है। अवकलज (derivative) का कौन सा गुण आपको यह निष्कर्ष निकालने में सक्षम बनाता है कि $f(x)$ का प्रतिलोम (inverse) मौजूद है?