यदि f(x) = sin^{-1}left[frac{2^{x+1}}{1+4^x}r | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \sin^{-1}\left[\frac{2 \cdot 2^x}{1 + (2^x)^2}ight]$.मान लीजिए $2^x = 	an 	heta$,तो $	heta = 	an^{-1}(2^x)$.इसे फलन में

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$\log 2$

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(A) दिया गया है $f(x) = \sin^{-1}\left[\frac{2 \cdot 2^x}{1 + (2^x)^2}ight]$.मान लीजिए $2^x = 	an 	heta$,तो $	heta = 	an^{-1}(2^x)$.इसे फलन में प्रतिस्थापित करने पर:$f(x) = \sin^{-1}\left[\frac{2 	an 	heta}{1 + 	an^2 	heta}ight]$सर्वसमिका $\sin 2	heta = \frac{2 	an 	heta}{1 + 	an^2 	heta}$ का उपयोग करने पर:$f(x) = \sin^{-1}(\sin 2	heta) = 2	heta = 2 	an^{-1}(2^x)$.अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{1 + (2^x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(2^x)$$f'(x) = \frac{2}{1 + 4^x} \cdot 2^x \log_e 2$.$x = 0$ पर मान ज्ञात करने पर:$f'(0) = \frac{2}{1 + 4^0} \cdot 2^0 \log_e 2 = \frac{2}{1 + 1} \cdot 1 \cdot \log_e 2 = \frac{2}{2} \log_e 2 = \log_e 2$.

यदि $f(x) = \sin^{-1}\left[\frac{2^{x+1}}{1+4^x}\right]$ है,तो $f'(0) = $

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$\lim _{x}$ ${\rightarrow \frac{\pi}{2}} \left( \frac{\int_{x^3}^{(\pi / 2)^3} (\sin (2 t^{1 / 3}) + \cos (t^{1 / 3})) dt}{(x - \frac{\pi}{2})^2} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए:

$x \in \left(0, \frac{1}{4}\right)$ के लिए,यदि $\tan ^{-1}\left(\frac{6 x \sqrt{x}}{1-9 x^3}\right)$ का अवकलज $\sqrt{x} \cdot g(x)$ है,तो $g(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $y = \cot^{-1}(\cos 2x)^{1/2}$ है,तो $x = \frac{\pi}{6}$ पर $\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $y=\cos ^{-1}\left(\frac{a^2}{\sqrt{x^4+a^4}}\right)$ है,तो $\frac{d y}{d x}$ क्या है?

यदि $f(x) = \sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-x}{2}}\right)$ है,तो $f^{\prime}(x) = $

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