यदि $ 2 \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| $ है,तो $ \vec{a} $ और $ \vec{b} $ के बीच का कोण क्या है ($^{\circ}$ में)?

यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दो ऐसे सदिश हैं कि $|\vec{a}|=2$,$|\vec{b}|=3$ और $\vec{a}+t \vec{b}$ तथा $\vec{a}-t \vec{b}$ परस्पर लंबवत हैं,जहाँ $t$ एक धनात्मक अदिश है,तो

मान लीजिए $\overline{u}, \overline{v}, \overline{w}$ ऐसे सदिश हैं कि $|\overline{u}|=1, |\overline{v}|=2, |\overline{w}|=3$ है। यदि $\overline{u}$ की दिशा में $\overline{v}$ का प्रक्षेप,$\overline{u}$ की दिशा में $\overline{w}$ के प्रक्षेप के बराबर है और सदिश $\overline{v}$ तथा $\overline{w}$ एक-दूसरे के लंबवत हैं,तो $|\overline{u}-\overline{v}+\overline{w}|$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\overrightarrow{a} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,और $\overrightarrow{b}$ तथा $\overrightarrow{c}$ दो शून्येतर सदिश इस प्रकार हैं कि $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = |\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}|$ और $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ है। निम्नलिखित दो कथनों पर विचार करें:
$(A)$ सभी $\lambda \in R$ के लिए $|\overrightarrow{a} + \lambda \overrightarrow{c}| \geq |\overrightarrow{a}|$.
$(B)$ $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{c}$ हमेशा समांतर हैं।

यदि एक समकोण त्रिभुज $ABC$ में,कर्ण $|\overrightarrow{AB}| = p$ है,तो $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = $

कथन $(A)$: बल $\vec{F}$ और विस्थापन $\vec{r}$ का अदिश गुणनफल किए गए कार्य के बराबर होता है।
कारण $(R)$: किया गया कार्य एक अदिश राशि नहीं है।