यदि alpha, beta, gamma समीकरण x^3+a x^2+b x+c | vedclass

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Question

(C) दिए गए समीकरण $x^3+a x^2+b x+c=0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha+\beta+\gamma = -a$ है।हम व्यंजक के पदों को इस प्रकार लिख सकते हैं:$\alpha+\beta-2 \g

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$2 a^3-9 a b+27 c$

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(C) दिए गए समीकरण $x^3+a x^2+b x+c=0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha+\beta+\gamma = -a$ है।हम व्यंजक के पदों को इस प्रकार लिख सकते हैं:$\alpha+\beta-2 \gamma = (\alpha+\beta+\gamma) - 3 \gamma = -a - 3 \gamma$.इसी प्रकार,$\beta+\gamma-2 \alpha = -a - 3 \alpha$ और $\gamma+\alpha-2 \beta = -a - 3 \beta$.गुणनफल $(-a-3 \alpha)(-a-3 \beta)(-a-3 \gamma) = -(a+3 \alpha)(a+3 \beta)(a+3 \gamma)$ होगा।मान लीजिए $f(x) = x^3+a x^2+b x+c = (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$.तब $f(-a/3) = (-a/3-\alpha)(-a/3-\beta)(-a/3-\gamma) = (-1/27)(a+3 \alpha)(a+3 \beta)(a+3 \gamma)$.अतः,$(a+3 \alpha)(a+3 \beta)(a+3 \gamma) = -27 f(-a/3)$.मूल व्यंजक $-(-27 f(-a/3)) = 27 f(-a/3)$ है।$f(-a/3) = (-a/3)^3 + a(-a/3)^2 + b(-a/3) + c = -a^3/27 + a^3/9 - ab/3 + c = (2a^3 - 9ab + 27c)/27$.$27$ से गुणा करने पर,हमें $2a^3 - 9ab + 27c$ प्राप्त होता है।

यदि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3+a x^2+b x+c=0$ के मूल हैं,तो $(\alpha+\beta-2 \gamma)(\beta+\gamma-2 \alpha)(\gamma+\alpha-2 \beta)=$

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