यदि alpha और beta द्विघात समीकरण x^2+x+1=0 के | vedclass

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Question

(D) द्विघात समीकरण $x^2+x+1=0$ के लिए,मूल इकाई के सम्मिश्र घनमूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं।अतः,$\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^2$ है।हमें $\alph

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$x^2+x+1=0$

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(D) द्विघात समीकरण $x^2+x+1=0$ के लिए,मूल इकाई के सम्मिश्र घनमूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं।अतः,$\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^2$ है।हमें $\alpha^{2021}$ और $\beta^{2021}$ मूलों वाला समीकरण ज्ञात करना है।चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\alpha^{2021} = \omega^{2021} = (\omega^3)^{673} \cdot \omega^2 = \omega^2$ है।इसी प्रकार,$\beta^{2021} = (\omega^2)^{2021} = \omega^{4042} = (\omega^3)^{1347} \cdot \omega = \omega$ है।नए मूल $\omega^2$ और $\omega$ हैं।$\omega$ और $\omega^2$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $x^2 - (\omega + \omega^2)x + \omega \cdot \omega^2 = 0$ है।चूंकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $\omega + \omega^2 = -1$ और $\omega^3 = 1$ है।इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x^2 - (-1)x + 1 = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 + x + 1 = 0$ हो जाता है।

यदि $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $x^2+x+1=0$ के मूल हैं,तो वह समीकरण जिसके मूल $\alpha^{2021}$ और $\beta^{2021}$ हैं,$.......$ द्वारा दिया जाता है।

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