જો 1+x^2=sqrt{3} x હોય,તો sum_{n=1}^{24}left( | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ છે,$x^2-\sqrt{3} x+1=0$. $x$ વડે ભાગતા,આપણને $x+\frac{1}{x}=\sqrt{3}$ મળે છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $\left(x^n-\frac{1}{x^n}\right)^2 = \left(x^n

Vedclass · Accepted Answer

$-48$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ છે,$x^2-\sqrt{3} x+1=0$. $x$ વડે ભાગતા,આપણને $x+\frac{1}{x}=\sqrt{3}$ મળે છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $\left(x^n-\frac{1}{x^n}ight)^2 = \left(x^n+\frac{1}{x^n}ight)^2 - 4$. ધારો કે $x = e^{i	heta} = \cos 	heta + i \sin 	heta$. તો $x+\frac{1}{x} = 2 \cos 	heta = \sqrt{3}$,તેથી $\cos 	heta = \frac{\sqrt{3}}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $	heta = \frac{\pi}{6}$. આમ,$x^n = \cos \frac{n\pi}{6} + i \sin \frac{n\pi}{6}$ અને $\frac{1}{x^n} = \cos \frac{n\pi}{6} - i \sin \frac{n\pi}{6}$. તેથી $x^n - \frac{1}{x^n} = 2i \sin \frac{n\pi}{6}$. તેથી,$\left(x^n - \frac{1}{x^n}ight)^2 = (2i \sin \frac{n\pi}{6})^2 = -4 \sin^2 \frac{n\pi}{6}$. હવે,$\sum_{n=1}^{24} -4 \sin^2 \frac{n\pi}{6} = -4 \sum_{n=1}^{24} \sin^2 \frac{n\pi}{6}$. કારણ કે $\sin^2 \frac{n\pi}{6}$ નો આવર્તકાળ $6$ છે,તેથી $24$ પદોનો સરવાળો $4 	imes \sum_{n=1}^{6} \sin^2 \frac{n\pi}{6}$ થાય. $\sum_{n=1}^{6} \sin^2 \frac{n\pi}{6} = \sin^2 \frac{\pi}{6} + \sin^2 \frac{2\pi}{6} + \sin^2 \frac{3\pi}{6} + \sin^2 \frac{4\pi}{6} + \sin^2 \frac{5\pi}{6} + \sin^2 \frac{6\pi}{6} = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (1)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + 0^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1 + \frac{3}{4} + \frac{1}{4} + 0 = 3$. આમ,કુલ સરવાળો $-4 	imes (4 	imes 3) = -48$ થાય.

જો $1+x^2=\sqrt{3} x$ હોય,તો $\sum_{n=1}^{24}\left(x^n-\frac{1}{x^n}\right)^2$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

શ્રેણી $i - 2 - 3i + 4 + 5i - 6 - 7i + 8 + \dots$ ના $100$ પદોનો સરવાળો,જ્યાં $i = \sqrt{-1}$ છે,તે શોધો.

જો $z=1-\sqrt{3} i$ હોય,તો $z^3-3 z^2+3 z=$

જો $\sqrt{-3-4 i}=re^{i \theta}$ હોય,તો $r^2 \tan \theta=$

જો ${z_1}$ અને ${z_2}$ બે સંકર સંખ્યાઓ હોય,તો $Re({z_1}{z_2}) = $

જો $z = \frac{7 - i}{3 - 4i}$ હોય,તો $z^{14} = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module