यदि z_1 और z_2 इकाई के n^{text{th}} मूलों में | vedclass

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Question

(A) इकाई के $n^{	ext{th}}$ मूल $z_r = e^{i \frac{2\pi r}{n}}$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $r = 0, 1, \dots, n-1$.मान लीजिए $z_1 = e^{i \frac{2\pi r_1}{n

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$4k$

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(A) इकाई के $n^{	ext{th}}$ मूल $z_r = e^{i \frac{2\pi r}{n}}$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $r = 0, 1, \dots, n-1$.मान लीजिए $z_1 = e^{i \frac{2\pi r_1}{n}}$ और $z_2 = e^{i \frac{2\pi r_2}{n}}$.मूल बिंदु पर $z_1$ और $z_2$ को जोड़ने वाले रेखाखंड द्वारा बनाया गया कोण उनके कोणांकों का अंतर है: $	heta = |\arg(z_1) - \arg(z_2)| = |\frac{2\pi r_1}{n} - \frac{2\pi r_2}{n}| = \frac{2\pi}{n} |r_1 - r_2|$.चूँकि यह कोण समकोण है,इसलिए $\frac{2\pi}{n} |r_1 - r_2| = \frac{\pi}{2}$.इसे सरल करने पर $\frac{2}{n} |r_1 - r_2| = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $n = 4 |r_1 - r_2|$.चूँकि $|r_1 - r_2|$ एक पूर्णांक है,मान लीजिए $|r_1 - r_2| = k$,जहाँ $k$ एक धनात्मक पूर्णांक है।अतः,$n$ का रूप $4k$ होगा।

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