यदि n एक धनात्मक पूर्णांक है,तो sum_{r=1}^n r | vedclass

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Question

(C) हम जानते हैं कि $(1+x)^n = \sum_{r=0}^n C_r x^r = C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + \ldots + C_n x^n$। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $n(1+x)

Vedclass · Accepted Answer

$n(n+1)$

Vedclass · Answer

(C) हम जानते हैं कि $(1+x)^n = \sum_{r=0}^n C_r x^r = C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + \ldots + C_n x^n$। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $n(1+x)^{n-1} = C_1 + 2C_2 x + 3C_3 x^2 + \ldots + nC_n x^{n-1}$। दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करने पर: $nx(1+x)^{n-1} = C_1 x + 2C_2 x^2 + 3C_3 x^3 + \ldots + nC_n x^n$। पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $n[(1+x)^{n-1} + x(n-1)(1+x)^{n-2}] = C_1 + 2^2 C_2 x + 3^2 C_3 x^2 + \ldots + n^2 C_n x^{n-1}$। $x=1$ रखने पर: $\sum_{r=1}^n r^2 C_r = n[2^{n-1} + (n-1)2^{n-2}] = n[2 \cdot 2^{n-2} + (n-1)2^{n-2}] = n(n+1)2^{n-2}$। अतः,लुप्त पद $n(n+1)$ है।

यदि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है,तो $\sum_{r=1}^n r^2 \cdot C_r = (\ldots \ldots \ldots) 2^{n-2}$

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निम्नलिखित कथनों के संबंध में सही विकल्प चुनें:
$1$. $C_0+C_2+C_4+\ldots+C_n=2^{n-1}$,यदि $n$ सम है
$2$. $C_1+C_3+C_5+\ldots+C_{n-1}=2^{n-1}$,यदि $n$ सम है

$2 \cdot {}^{20}C_0 + 5 \cdot {}^{20}C_1 + 8 \cdot {}^{20}C_2 + 11 \cdot {}^{20}C_3 + \dots + 62 \cdot {}^{20}C_{20}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$C_0 C_r + C_1 C_{r+1} + C_2 C_{r+2} + \dots + C_{n-r} C_n =$

यदि $(1+x)^n = p_0 + p_1 x + p_2 x^2 + \ldots + p_n x^n$ है,तो $p_0 + p_3 + p_6 + \ldots$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\sum\limits_{K = 1}^{12} {12K \cdot {^{12}C_K} \cdot {^{11}C_{K - 1}}} $ का मान $\frac{{12 \times 21 \times 19 \times 17 \times \dots \times 3}}{{11!}} \times {2^{12}} \times p$ के बराबर है,तो $p$ का मान ज्ञात कीजिए।

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