જો $(1,2)$ એ નાભિ (focus) હોય,$x+2y=0$ એ નિયામિકા (directrix) હોય અને $\sqrt{2}$ એ અતિવલય (hyperbola) ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) હોય,તો અતિવલયનું સમીકરણ શું થાય?

ધારો કે $A(2 \sec \theta, 3 \tan \theta)$ અને $B(2 \sec \phi, 3 \tan \phi)$ જ્યાં $\theta+\phi=\frac{\pi}{2}$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$ પરના બે બિંદુઓ છે. જો $(\alpha, \beta)$ એ $A$ અને $B$ આગળના અતિવલયના અભિલંબનું છેદબિંદુ હોય, તો $\beta$ ની કિંમત શોધો.

વિધાન $(A)$: બિંદુ $(5, -4)$ એ અતિવલય $y^2 - 9x^2 + 1 = 0$ ની અંદર આવેલું છે.
કારણ $(R)$: બિંદુ $(x_1, y_1)$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની અંદર આવેલું હોય જો $\frac{x_1^2}{a^2} - \frac{y_1^2}{b^2} - 1 < 0$ હોય.

જો અતિવલય $x^2 - y^2 \sec^2 \alpha = 5$ ની ઉત્કેન્દ્રતા એ ઉપવલય $x^2 \sec^2 \alpha + y^2 = 25$ ની ઉત્કેન્દ્રતા કરતા $\sqrt{3}$ ગણી હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો:

વક્ર $x=35 \sec \theta, y=35 \tan \theta$ પરના કોઈપણ બિંદુ $\theta$ આગળનો સ્પર્શક છે

ઉત્કેન્દ્રતા $e = 3/2$ અને નાભિઓ $(\pm 2, 0)$ હોય તેવા અતિવલયનું સમીકરણ શોધો.