यदि lim _{x rightarrow infty}left{frac{x^3+1} | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $\lim _{x \rightarrow \infty}\left\{\frac{x^3+1}{x^2+1}-(\alpha x+\beta)\right\}=2$. व्यंजक को सरल करने पर: $\lim _{x \rightarrow \

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$(1, -2)$

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(D) दिया गया है कि $\lim _{x \rightarrow \infty}\left\{\frac{x^3+1}{x^2+1}-(\alpha x+\beta)\right\}=2$. व्यंजक को सरल करने पर: $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^3+1-(\alpha x+\beta)(x^2+1)}{x^2+1} = 2$ $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^3+1-(\alpha x^3+\alpha x+\beta x^2+\beta)}{x^2+1} = 2$ $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{(1-\alpha)x^3-\beta x^2-\alpha x+(1-\beta)}{x^2+1} = 2$. सीमा के अस्तित्व और परिमित होने के लिए,$x^3$ का गुणांक $0$ होना चाहिए: $1-\alpha = 0 \Rightarrow \alpha = 1$. अब सीमा इस प्रकार है: $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-\beta x^2-x+(1-\beta)}{x^2+1} = 2$. अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर: $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-\beta - \frac{1}{x} + \frac{1-\beta}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = 2$. जैसे $x \rightarrow \infty$,$x$ वाले पद $0$ की ओर प्रवृत्त होते हैं: $-\beta = 2 \Rightarrow \beta = -2$. अतः,क्रमित युग्म $(\alpha, \beta) = (1, -2)$ है।

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