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Question

(D) $f(x)$ के $x = -1$ पर दाईं ओर से सतत होने के लिए,$\lim_{x \rightarrow -1^+} f(x) = f(-1)$ होना चाहिए।सीमा $\lim_{x \rightarrow -1^+} \frac{\sqrt{\

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(D) $f(x)$ के $x = -1$ पर दाईं ओर से सतत होने के लिए,$\lim_{x \rightarrow -1^+} f(x) = f(-1)$ होना चाहिए।सीमा $\lim_{x \rightarrow -1^+} \frac{\sqrt{\pi} - \sqrt{\cos^{-1} x}}{\sqrt{x+1}}$ पर $L'H\hat{o}pital$ नियम लागू करने पर:$\lim_{x \rightarrow -1^+} \frac{-\frac{1}{2\sqrt{\cos^{-1} x}} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)}{\frac{1}{2\sqrt{x+1}}} = \lim_{x \rightarrow -1^+} \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{\cos^{-1} x} \sqrt{1-x} \sqrt{1+x}}$$= \lim_{x \rightarrow -1^+} \frac{1}{\sqrt{\cos^{-1} x} \sqrt{1-x}} = \frac{1}{\sqrt{\cos^{-1}(-1)} \sqrt{1-(-1)}} = \frac{1}{\sqrt{\pi} \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}$.दिया है $f(-1) = \frac{1}{\sqrt{\lambda \pi}}$,अतः तुलना करने पर: $\frac{1}{\sqrt{2\pi}} = \frac{1}{\sqrt{\lambda \pi}}$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $2\pi = \lambda \pi$ प्राप्त होता है,इसलिए $\lambda = 2$।

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{\pi} - \sqrt{\cos^{-1} x}}{\sqrt{x+1}}, & x \neq -1 \\ \frac{1}{\sqrt{\lambda \pi}}, & x = -1 \end{cases}$ बिंदु $x = -1$ पर दाईं ओर से सतत (right continuous) है,तो $\lambda = $

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