यदि f(x) = begin{cases} frac{1-cos Kx}{x sin | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $f(x)$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x 	o 0} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।अतः,$\lim_{x 	o 0} \frac{1-\cos Kx}{x \sin x} = \frac{1

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$\pm 1$

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(D) दिया गया है कि $f(x)$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x 	o 0} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।अतः,$\lim_{x 	o 0} \frac{1-\cos Kx}{x \sin x} = \frac{1}{2}$।त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1-\cos 	heta = 2 \sin^2(\frac{	heta}{2})$ का उपयोग करने पर:$\lim_{x 	o 0} \frac{2 \sin^2(\frac{Kx}{2})}{x \sin x} = \frac{1}{2}$।अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर:$\lim_{x 	o 0} \frac{2 \left(\frac{\sin(Kx/2)}{x}ight)^2}{\frac{\sin x}{x}} = \frac{1}{2}$।अंश में $(\frac{K}{2})^2$ से गुणा और भाग करने पर:$\lim_{x 	o 0} \frac{2 \cdot (\frac{K}{2})^2 \cdot (\frac{\sin(Kx/2)}{Kx/2})^2}{\frac{\sin x}{x}} = \frac{1}{2}$।चूंकि $\lim_{	heta 	o 0} \frac{\sin 	heta}{	heta} = 1$,इसलिए:$2 \cdot \frac{K^2}{4} \cdot \frac{1^2}{1} = \frac{1}{2}$।$\frac{K^2}{2} = \frac{1}{2} \implies K^2 = 1$।अतः,$K = \pm 1$।

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{1-\cos Kx}{x \sin x}, & \text{यदि } x \neq 0 \\ \frac{1}{2}, & \text{यदि } x=0 \end{cases}$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,तो $K$ का मान ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} x+a \sqrt{2} \sin x, & 0 \leq x < \frac{\pi}{4} \\ 2x \cot x+b, & \frac{\pi}{4} \leq x < \frac{\pi}{2} \\ a \cos 2x-b \sin x, & \frac{\pi}{2} \leq x \leq \pi \end{cases}$। यदि $f(x)$,$0 \leq x \leq \pi$ के लिए सतत है,तो:

यदि $f(x) = \begin{cases} x^2 + \alpha, & x \ge 0 \\ 2\sqrt{x^2 + 1} + \beta, & x < 0 \end{cases}$ बिंदु $x = 0$ पर सतत है और $f(\frac{1}{2}) = 2$ है,तो $\alpha^2 + \beta^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{\log_{e} x}{x-1} & x \neq 1 \\ k & x=1 \end{cases}$ बिंदु $x=1$ पर सतत है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

फलन $f(x) = \begin{cases} (x^2 + e^{\frac{1}{2-x}})^{-1} & x \neq 2 \\ k & x = 2 \end{cases}$ बिंदु $x = 2$ पर दाईं ओर से सतत है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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