જો $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ જ્યાં $\theta = \frac{2 \pi}{19}$ હોય,તો $A^{2017} = $

ધારો કે $p, q, r$ એ ત્રણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જે $[p \, q \, r] \begin{bmatrix} 2 & p & q \\ -3 & q & -p+r \\ 12 & r & -q+3r \end{bmatrix} = [5 \, b \, c]$ નું સમાધાન કરે છે,તો $(b+c)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

$0$ અને $\pi / 2$ ની વચ્ચે રહેલ $\theta$ ની કિંમત શોધો જે સમીકરણ $\left| \begin{array}{ccc} 1 + \sin^2 \theta & \cos^2 \theta & 4 \sin 4 \theta \\ \sin^2 \theta & 1 + \cos^2 \theta & 4 \sin 4 \theta \\ \sin^2 \theta & \cos^2 \theta & 1 + 4 \sin 4 \theta \end{array} \right| = 0$ નું સમાધાન કરે છે.

જો $\omega (\neq 1)$ એ એકમનું ઘનમૂળ હોય,તો નિશ્ચાયક $\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 + i + \omega^2 & \omega^2 \\ 1 - i & -1 & \omega^2 - 1 \\ -i & -i + \omega - 1 & -1 \end{array} \right|$ ની કિંમત શોધો.

$\triangle ABC$ માં,જો $\left|\begin{array}{lll}a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b\end{array}\right|=0$ હોય,તો $\cos A \cos B+\cos B \cos C+\cos C \cos A=$

ધારો કે $a, b, c$ એ $x^5 = 1$ સમીકરણનું સમાધાન કરતા વાસ્તવિક ન હોય તેવી સંખ્યાઓ છે અને $S$ એ $\begin{bmatrix} 1 & a & b \\ w & 1 & c \\ w^2 & w & 1 \end{bmatrix}$ સ્વરૂપના તમામ અ-વ્યુત્ક્રમણીય શ્રેણિકોનો ગણ છે,જ્યાં $w = e^{\frac{i 2\pi}{5}}$. તો ગણ $S$ માં રહેલા ભિન્ન શ્રેણિકોની સંખ્યા શોધો.