यदि a neq 1, b neq -1, c neq -1 है और समीकरण | vedclass

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Question

(B) दिए गए समीकरण निकाय हैं:$x - ay - az = 0$$-bx + y - bz = 0$$-cx - cy + z = 0$अतुच्छ हल के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:$\Delta = \

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$\frac{a}{a+1} + \frac{b}{b+1} + \frac{c}{c+1} = 1$

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(B) दिए गए समीकरण निकाय हैं:$x - ay - az = 0$$-bx + y - bz = 0$$-cx - cy + z = 0$अतुच्छ हल के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & -a & -a \ -b & 1 & -b \ -c & -c & 1 \end{vmatrix} = 0$सारणिक का विस्तार करने पर:$1(1 - bc) + a(-b - bc) - a(bc + c) = 0$$1 - bc - ab - abc - abc - ac = 0$$1 - (ab + bc + ca) - 2abc = 0$समीकरण $x = a(y+z)$ से,हमें प्राप्त होता है $x = a(x+y+z) - ax$,इसलिए $x(1+a) = a(x+y+z)$.अतः,$\frac{x}{x+y+z} = \frac{a}{a+1}$.इसी प्रकार,$\frac{y}{x+y+z} = \frac{b}{b+1}$ और $\frac{z}{x+y+z} = \frac{c}{c+1}$.इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर:$\frac{x+y+z}{x+y+z} = \frac{a}{a+1} + \frac{b}{b+1} + \frac{c}{c+1}$.चूँकि हल अतुच्छ है,$x+y+z 
eq 0$,इसलिए:$1 = \frac{a}{a+1} + \frac{b}{b+1} + \frac{c}{c+1}$.

यदि $a \neq 1, b \neq -1, c \neq -1$ है और समीकरण निकाय $x = a(y+z), y = b(z+x), z = c(x+y)$ का एक अतुच्छ (non-trivial) हल है,तो:

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यदि $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 6 \end{bmatrix}$ है और $A_{ij}$,$A$ के अवयवों $a_{ij}$ के सहखंड (cofactors) हैं,तो $a_{11} A_{11} + a_{12} A_{12} + a_{13} A_{13}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\theta$ का एक मान जिसके लिए निम्नलिखित समीकरण निकाय का एक अशून्य हल है:
$(4 \sin \theta) x - 3y + z = 0$
$x - (6 \cos 2\theta) y + z = 0$
$3x - 12y + 4z = 0$

यदि $p + q + r = 0$ और $a + b + c = 0$ है,तो सारणिक $\left| \begin{array}{ccc} pa & qb & rc \\ qc & ra & pb \\ rb & pc & qa \end{array} \right|$ का मान क्या है?

यदि $\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & x \\ 1 & x & 1 \\ x & -1 & 1\end{array}\right]$ का व्युत्क्रम (inverse) संभव नहीं है,तो $x$ का वास्तविक मान ज्ञात कीजिए।

$(3, 8)$, $(-4, 2)$ और $(5, 1)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{P}{4}$ है। $P$ का मान है:

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