यदि f: A rightarrow B और g: B rightarrow C दो | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) दिया गया है: $f: A \rightarrow B$ और $g: B \rightarrow C$. साथ ही,$g \circ f: A \rightarrow C$ एक बाइजेक्शन है। सबसे पहले,हम सिद्ध करते हैं कि $f$

Vedclass · Accepted Answer

$f$ एकैकी फलन है और $g$ आच्छादक फलन है

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है: $f: A \rightarrow B$ और $g: B \rightarrow C$. साथ ही,$g \circ f: A \rightarrow C$ एक बाइजेक्शन है। सबसे पहले,हम सिद्ध करते हैं कि $f$ एकैकी (injection) है: मान लीजिए $x_1, x_2 \in A$ इस प्रकार हैं कि $f(x_1) = f(x_2)$. तब $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$,जिसका अर्थ है $(g \circ f)(x_1) = (g \circ f)(x_2)$. चूंकि $g \circ f$ एक बाइजेक्शन है,यह एकैकी है,इसलिए $x_1 = x_2$. अतः,$f$ एक एकैकी फलन है। अब,हम सिद्ध करते हैं कि $g$ आच्छादक (surjection) है: मान लीजिए $z \in C$. चूंकि $g \circ f: A \rightarrow C$ एक बाइजेक्शन है,यह आच्छादक है। इसलिए,एक ऐसा $x \in A$ मौजूद है कि $(g \circ f)(x) = z$. इसका अर्थ है $g(f(x)) = z$. चूंकि $f(x) \in B$,मान लीजिए $y = f(x)$. तो किसी $y \in B$ के लिए $g(y) = z$. अतः,$g$ एक आच्छादक फलन है। इसलिए,$f$ एकैकी है और $g$ आच्छादक है।

Similar Questions

यदि $f: A \rightarrow B$ और $g: B \rightarrow C$ ऐसे फलन हैं कि $g \circ f: A \rightarrow C$ आच्छादक (onto) है,तो आवश्यक शर्त क्या है?

यदि $f(x) = x^2$ और $g(x) = [x^2]$ है, जहाँ $[ \cdot ]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है, तो $(f \circ g)(\frac{3}{2}) + (g \circ f)(\frac{3}{2})$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$,$x \in R - \{-1, 0, 1\}$ है। यदि सभी $n \in N$ के लिए $f^{n+1}(x) = f(f^n(x))$ है,तो $f^6(6) + f^7(7) = $

यदि सभी $x \in [1, \infty)$ के लिए $f(x)=e^x$ और $g(x)=\ln(x)$ है,तो $f \circ g$ . . . . . . है।

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module