यदि u=sin left(frac{x}{y}right),x=e^t,और y=t^ | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $u=\sin \left(\frac{x}{y}\right)$,$x=e^t$,और $y=t^2$। $u$ में $x$ और $y$ का मान रखने पर,हमें $u=\sin \left(\frac{e^t}{t^2}\right)$ प्र

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$1-u^2$

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(C) दिया गया है $u=\sin \left(\frac{x}{y}ight)$,$x=e^t$,और $y=t^2$। $u$ में $x$ और $y$ का मान रखने पर,हमें $u=\sin \left(\frac{e^t}{t^2}ight)$ प्राप्त होता है।अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $u$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{d u}{d t}=\cos \left(\frac{e^t}{t^2}ight) \cdot \frac{d}{d t}\left(\frac{e^t}{t^2}ight)$भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करते हुए $\frac{d}{d t}\left(\frac{e^t}{t^2}ight) = \frac{t^2 e^t - e^t(2t)}{(t^2)^2} = \frac{t e^t(t-2)}{t^4} = \frac{e^t(t-2)}{t^3}$।अतः,$\frac{d u}{d t} = \cos \left(\frac{e^t}{t^2}ight) \cdot \frac{e^t(t-2)}{t^3}$।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:$\left(\frac{d u}{d t}ight)^2 = \cos^2 \left(\frac{e^t}{t^2}ight) \cdot \frac{e^{2t}(t-2)^2}{t^6}$।व्यंजक $t^6\left(\frac{d u}{d t}ight)^2 \div \left(e^{2 t}(t-2)^2ight)$ को व्यवस्थित करने पर:$= \frac{t^6 \cdot \cos^2 \left(\frac{e^t}{t^2}ight) \cdot e^{2t}(t-2)^2}{t^6 \cdot e^{2t}(t-2)^2} = \cos^2 \left(\frac{e^t}{t^2}ight)$।चूंकि $u = \sin \left(\frac{e^t}{t^2}ight)$,इसलिए $\sin^2 \left(\frac{e^t}{t^2}ight) = u^2$।सर्वसमिका $\cos^2 	heta = 1 - \sin^2 	heta$ का उपयोग करने पर,हमें $\cos^2 \left(\frac{e^t}{t^2}ight) = 1 - u^2$ प्राप्त होता है।

यदि $u=\sin \left(\frac{x}{y}\right)$,$x=e^t$,और $y=t^2$ है,तो $t^6\left(\frac{d u}{d t}\right)^2 \div \left(e^{2 t}(t-2)^2\right)=$

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