જો $f(x)$ એ વિકલનીય વિધેય હોય,$f^{\prime}(x) \geq 5$ દરેક $x \in [2, 6]$ માટે,$f(2) = 4$ અને $f(3) = 15$ હોય,તો $f(6)$ ની શક્ય કિંમત કઈ છે?

આપેલ છે કે $f(x)$ એ $a \le x \le b$ પર સતત વિકલનીય છે જ્યાં $a < b, f(a) < 0$ અને $f(b) > 0$,તો નીચેનામાંથી કયા વિધાનો હંમેશા સાચા છે?
$(i)$ $f(x)$ એ $a \le x \le b$ પર સીમિત (bounded) છે.
$(ii)$ સમીકરણ $f(x) = 0$ ને $a < x < b$ માં ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ છે.
$(iii)$ $f(x)$ ની $a \le x \le b$ પર મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો એવા બિંદુઓ પર મળે છે જ્યાં $f'(c) = 0$ હોય.
$(iv)$ $a < c < b$ માં ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ $c$ એવું છે જ્યાં $f'(c) > 0$ હોય.
$(v)$ $a < d < b$ માં ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ $d$ એવું છે જ્યાં $f'(d) < 0$ હોય.

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ બે વાર સતત વિકલનીય વિધેય છે કે જેથી $f(0) = f(1) = f^{\prime}(0) = 0$ થાય. તો:

$[0,4]$ માં $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$ માટે લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ $c$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f$ અને $g$ એ અંતરાલ $I$ પર વિકલનીય છે અને $a, b \in I, a < b$ છે. તો,

અંતરાલ $[2,6]$ માં $f(x)=\sqrt{x-2}$ માટે લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેયમાં $c$ ની કિંમત શું છે?