यदि u=f(r),जहाँ r^2=x^2+y^2 है,तो left(frac{p | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) दिया गया है कि $u=f(r)$ और $r^2=x^2+y^2$ है। सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन ज्ञात करें: $\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r}$ और $\f

Vedclass · Accepted Answer

$f^{\prime \prime}(r)+\frac{1}{r} f^{\prime}(r)$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है कि $u=f(r)$ और $r^2=x^2+y^2$ है। सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन ज्ञात करें: $\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r}$ और $\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{r}$। श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$u_x = f^{\prime}(r) \frac{\partial r}{\partial x} = f^{\prime}(r) \frac{x}{r}$। अतः,$u_{xx} = \frac{\partial}{\partial x} \left( f^{\prime}(r) \frac{x}{r} \right) = f^{\prime \prime}(r) \left( \frac{x}{r} \right)^2 + f^{\prime}(r) \left( \frac{r - x \frac{\partial r}{\partial x}}{r^2} \right) = f^{\prime \prime}(r) \frac{x^2}{r^2} + f^{\prime}(r) \frac{r^2 - x^2}{r^3}$। इसी प्रकार,$u_{yy} = f^{\prime \prime}(r) \frac{y^2}{r^2} + f^{\prime}(r) \frac{r^2 - y^2}{r^3}$। इन दोनों को जोड़ने पर: $u_{xx} + u_{yy} = f^{\prime \prime}(r) \left( \frac{x^2+y^2}{r^2} \right) + f^{\prime}(r) \left( \frac{2r^2 - (x^2+y^2)}{r^3} \right)$। चूंकि $x^2+y^2 = r^2$,इसलिए हमें प्राप्त होता है: $u_{xx} + u_{yy} = f^{\prime \prime}(r) \left( \frac{r^2}{r^2} \right) + f^{\prime}(r) \left( \frac{2r^2 - r^2}{r^3} \right) = f^{\prime \prime}(r) + f^{\prime}(r) \frac{r^2}{r^3} = f^{\prime \prime}(r) + \frac{1}{r} f^{\prime}(r)$।

यदि $u=f(r)$,जहाँ $r^2=x^2+y^2$ है,तो $\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)$ का मान क्या होगा?

Similar Questions

संक्रमण धातुओं की निम्नलिखित में से कौन सी विशेषता उनकी उत्प्रेरक सक्रियता से संबंधित है?

$\sqrt{42+\sqrt{42+\sqrt{42+\ldots}}}$ का मान किसके बराबर है?

$25^{\circ} C$ पर $300 \, g$ पानी को $0^{\circ} C$ पर $100 \, g$ बर्फ में मिलाया जाता है। मिश्रण का अंतिम तापमान ........... $^{\circ} C$ है।

यदि एक अतिपरवलय (hyperbola) की उत्केंद्रता (eccentricity) $\sqrt{3}$ है,तो इसके संयुग्मी अतिपरवलय (conjugate hyperbola) की उत्केंद्रता क्या होगी?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module