જો $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos x & x & 1 \\ 2 \sin x & x^2 & 2x \\ \tan x & x & 1 \end{array} \right|$ હોય,તો $x = 0$ આગળ $f'(x)$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

શ્રેણિક $\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1\end{array}\right]$ નો નિશ્ચાયક (Rank) શોધો.

જો સમીકરણોની સંહતિ $a_1 x + b_1 y + c_1 z = 0$,$a_2 x + b_2 y + c_2 z = 0$,અને $a_3 x + b_3 y + c_3 z = 0$ નો માત્ર શૂન્યતર ઉકેલ (trivial solution) હોય,તો શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}$ નો નિશ્ચાયક (rank) કેટલો થાય?

જો $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos(x+a+b) & \sin(x+a+b) & 10 \\ \cos(x+b+c) & \sin(x+b+c) & 10 \\ \cos(x+c+a) & \sin(x+c+a) & 10 \end{array} \right|$ હોય,તો $f(2019)^{f(2020)} - f(2020)^{f(2019)}$ ની કિંમત શોધો.

જો $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \sin(x + \alpha) & \sin(x + \beta) & \sin(x + \gamma) \\ \cos(x + \alpha) & \cos(x + \beta) & \cos(x + \gamma) \\ \sin(\alpha + \beta) & \sin(\beta + \gamma) & \sin(\gamma + \alpha) \end{array} \right|$ અને $f(10) = 10$ હોય,તો $f(\pi)$ ની કિંમત શોધો.

એક શ્રેણિક $A$ માં,જો $k$ કક્ષાના તમામ ઉપ-શ્રેણિકો અસામાન્ય (singular) હોય અને $r$ $(r < k)$ કક્ષાનો એક અસામાન્ય ન હોય તેવો (non-singular) ઉપ-શ્રેણિક અસ્તિત્વ ધરાવતો હોય,તો શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક $(\rho)$: